重難點關鍵
1．重點：用「倍數關係」建立數學模型
2．難點與關鍵：用「倍數關係」建立數學模型
教學過程
一、複習引入
問題1：列方程解應用題
下表是某一周甲、乙兩種**每天每股的**價（**價：**每天交易結果時的**）：
某人在這週內持有若干甲、乙兩種**，若按照兩種**每天的**價計算（不計手續費、稅費等），則在他帳戶上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，這人持有的甲、乙**各多少股？
老師點評分析：一般用直接設元，即問什麼就設什麼，即設這人持有的甲、乙**各x、y張，由於從表中知道每天每股的**價，因此，兩種**當天的帳戶總數就是x或y乘以相應的每天每股的**價，再根據已知的等量關係；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．
解：設這人持有的甲、乙**各x、y張．
則解得答：（略）
二、探索新知
上面這道題大家都做得很好，這是一種利用二元一次方程組的數量關係建立的數學模型，那麼還有沒有利用其它形式，也就是利用我們前面所學過的一元二次方程建立數學模型解應用題呢？請同學們完成下面問題．
問題2：某工廠第一季度的一月份生產電視機是1萬台，第一季度生產電視機的總台數是3.31萬台，求二月份、三月份生產電視機平均增長的百分率是多少？
解：設二月份、三月份生產電視機平均增長的百分率為x，則1+（1+x）+（1+x）2=3.31
去括號：1+1+x+1+2x+x2=3.31
整理，得：x2+3x-0.31=0
解得：x=10%
答：（略）
以上這一道題與我們以前所學的一元一次、二元一次方程（組）、分式方程等為背景建立數學模型是一樣的，而我們借助的是一元二次方程為背景建立數學模型來分析實際問題和解決問題的型別．
例1．某電腦公司2023年的各項經營中，一月份的營業額為200萬元，一月、二月、三月的營業額共950萬元，如果平均每月營業額的增長率相同，求這個增長率．
分析：設這個增長率為x，由一月份的營業額就可列出用x表示的
二、三月份的營業額，又由三月份的總營業額列出等量關係．
三、鞏固練習
（1）某林場現有木材a立方公尺，預計在今後兩年內年平均增長p%，那麼兩年後該林場有木材多少立方公尺?
（2）某化工廠今年一月份生產化工原料15萬噸，通過優化管理，產量逐年上公升，第一季度共生產化工原料60萬噸，設
二、三月份平均增長的百分率相同，均為x，可列出方程為
四、應用拓展
例2．某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期後支取1000元用於購物，剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期後本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率．
分析：設這種存款方式的年利率為x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就變為1000+2000x·80%，其它依此類推．
作業設計
一、選擇題
1．2023年一月份越南發生禽流感的養雞場100家，後來二、三月份新發生禽流感的養雞場共250家，設
二、三月份平均每月禽流感的感染率為x，依題意列出的方程是（ ）．
a．100（1+x）2=250 b．100（1+x）+100（1+x）2=250
c．100（1-x）2=250 d．100（1+x）2
2．一台電視機成本價為a元，銷售價比成本價增加25%，因庫存積壓，所以就按銷售價的70%**，那麼每台售價為（ ）．
a．（1+25%）（1+70%）a元 b．70%（1+25%）a元
c．（1+25%）（1-70%）a元 d．（1+25%+70%）a元
3．某商場的標價比成本高p%，當該商品降價**時，為了不虧損成本，售價的折扣（即降低的百分數）不得超過d%，則d可用p表示為（ ）．
a． b．p c． d．
二、填空題
1．某農戶的糧食產量，平均每年的增長率為x，第一年的產量為6萬kg，第二年的產量為_______kg，第三年的產量為_______，三年總產量為_______．
2．某糖廠2023年食糖產量為at，如果在以後兩年平均增長的百分率為x，那麼預計2023年的產量將是________．
3．我國**為了解決老百姓看病難的問題，決定下調藥品**，某種藥品在2023年漲價30%後，2001年降價70%至a元，則這種藥品在1999年漲價前**是
三、綜合提高題
某商場於第一年初投入50萬元進行商品經營，以後每年年終將當年獲得的利潤與當年年初投入的資金相加所得的總資金，作為下一年年初投入的資金繼續進行經營．
（1）如果第一年的年獲利率為p，那麼第一年年終的總資金是多少萬元?（用代數式來表示）（注：年獲利率=×100%）
（2）如果第二年的年獲利率多10個百分點（即第二年的年獲利率是第一年的年獲利率與10%的和），第二年年終的總資金為66萬元，求第一年的年獲利率．
答案:一、1．b 2．b 3．d
二、1．6（1+x） 6（1+x）2 6+6（1+x）+6（1+x）2
2．a（1+x）2t
3． 三、1．平均增長率為x，則1600（1+x）2=1936，x=10%
2．設乙型增長率為x，甲型一月份產量為y：
則即16x2+56x-15=0，解得x==25%，y=20（臺）
3．（1）第一年年終總資金=50（1+p）
（2）50（1+p）（1+p+10%）=66，整理得：p2+2.1p-0.22=0，解得p=10%
應用拓展
例3．某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據市場分析，若每千克50元銷售，乙個月能售出500kg，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對這種水產品情況，請解答以下問題：
（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算銷售量和月銷售利潤．
（2）設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關係式．
（3）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應為多少?
分析：（1）銷售單價定為55元，比原來的銷售價50元提高5元，因此，銷售量就減少5×10kg．
（2）銷售利潤y=（銷售單價x-銷售成本40）×銷售量[500-10（x-50）]
（3）月銷售成本不超過10000元，那麼銷售量就不超過=250kg，在這個提前下，求月銷售利潤達到8000元，銷售單價應為多少．
一、選擇題
1．乙個小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共（ ）．
a．12人 b．18人 c．9人 d．10人
2．某一商人進貨價便宜8%，而售價不變，那麼他的利潤（按進貨價而定）可由目前x增加到（x+10%），則x是（ ）．
a．12% b．15% c．30% d．50%
3．育才中學為迎接香港回歸，從2023年到2023年四年內師生共植樹1997棵，已知該校2023年植樹342棵，2023年植樹500棵，如果2023年和2023年植樹的年增長率相同，那麼該校2023年植樹的棵數為（ ）．
a．600 b．604 c．595 d．605
二、填空題
1．乙個產品原價為a元，受市場經濟影響，先提價20%後又降價15%，現價比原價多_______%．
2．甲用1000元人民幣購買了一手**，隨即他將這手**轉賣給乙，獲利10%，乙而後又將這手**返賣給甲，但乙損失了10%，最後甲按乙賣給甲的**的九折將這手**賣出，在上述**交易中，甲盈了_________元．
3．乙個容器盛滿純藥液63l，第一次倒出一部分純藥液後用水加滿，第二次又倒出同樣多的藥液，再加水補滿，這時容器內剩下的純藥液是28l，設每次倒出液體xl，則列出的方程是________．
三、綜合提高題
1．上海甲商場七月份利潤為100萬元，九月份的利率為121萬元，乙商場七月份利率為200萬元，九月份的利潤為288萬元，那麼哪個商場利潤的年平均上公升率較大?
2．某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結1000個桃子，現準備多種一些桃樹以提高產量，試驗發現，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產量就會減少2個，如果要使產量增加15.2%，那麼應多種多少棵桃樹?
3．某玩具廠有4個車間，某周是質量檢查周，現每個車間都原有a（a>0）個成品，且每個車間每天都生產b（b>0）個成品，質量科派出若干名檢驗員周一、周二檢驗其中兩個車間原有的和這兩天生產的所有成品，然後，週三到周五檢驗另外兩個車間原有的和本週生產的所有成品，假定每名檢驗員每天檢驗的成品數相同．
（1）這若干名檢驗員1天共檢驗多少個成品?（用含a、b的代數式表示）
（2）若一名檢驗員1天能檢驗b個成品，則質量科至少要派出多少名檢驗員?
答案：一、1．c 2．b 3．d
二、1．2 2．1 3．（1-）2=
三、1．甲：設上公升率為x，則100（1+x）2=121，x=10%
乙：設上公升率為y，則200（1+y）2=288，y=20%，
那麼乙商場年均利潤的上公升率大．
2．設多種x棵樹，則（100+x）（1000-2x）=100×1000×（1+15.2%），
22 3實際問題與一元二次方程 2
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實際問題與一元二次方程
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實際問題與一元二次方程練習
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