22.3 實際問題與一元二次方程(2)
教學內容
建立一元二次方程的數學模型，解決如何全面地比較幾個物件的變化狀況．
教學目標
掌握建立數學模型以解決如何全面地比較幾個物件的變化狀況的問題．
複習一種物件變化狀況的解題過程，引入兩種或兩種以上物件的變化狀況的解題方法．
重難點關鍵
1．重點：如何全面地比較幾個物件的變化狀況．
2．難點與關鍵：某些量的變化狀況，不能衡量另外一些量的變化狀況．
教學過程
一、複習引入
（學生活動）請同學們獨立完成下面的題目．
問題：某商場禮品櫃檯春節期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定採取適當的降價措施，調查發現，如果這種賀年卡的售價每降低0.
1元，那麼商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元?
老師點評：總利潤=每件平均利潤×總件數．設每張賀年卡應降價x元，則每件平均利潤應是（0.3-x）元，總件數應是（500+×100）
解：設每張賀年卡應降價x元
則（0.3-x）（500+）=120
解得：x=0.1
答：每張賀年卡應降價0.1元．
二、探索新知
剛才，我們分析了一種賀年卡原來平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了減少庫存降價銷售，並知每降價0.1元，便可多售出100元，為了達到某個目的，每張賀年卡應降價多少元?
如果本題中有兩種賀年卡或者兩種其它東西，量與量之間又有怎樣的關係呢?即絕對量與相對量之間的關係．
例1．某商場禮品櫃檯春節期間購進甲、乙兩種賀年卡，甲種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，乙種賀年卡平均每天可售出200張，每張盈利0.75元，為了盡快減少庫存，商場決定採取適當的降價措施，調查發現，如果甲種賀年卡的售價每降價0.
1元，那麼商場平均每天可多售出100張；如果乙種賀年卡的售價每降價0.25元，那麼商場平均每天可多售出34張．如果商場要想每種賀年卡平均每天盈利120元，那麼哪種賀年卡每張降價的絕對量大．
分析：原來，兩種賀年卡平均每天的盈利一樣多，都是150元；，從這些數目看，好象兩種賀年卡每張降價的絕對量一樣大，下面我們就通過解題來說明這個問題．
解：（1）從「複習引入」中，我們可知，商場要想平均每天盈利120元，甲種賀年卡應降價0.1元．
（2）乙種賀年卡：設每張乙種賀年卡應降價y元，
則：（0.75-y）（200+×34）=120
即（-y）（200+136y）=120
整理：得68y2+49y-15=0
y=∴y≈-0.98（不符題意，應捨去）
y≈0.23元
答：乙種賀年卡每張降價的絕對量大．
因此，我們從以上一些絕對量的比較，不能說明其它絕對量或者相對量也有同樣的變化規律．
（學生活動）例2．兩年前生產1t甲種藥品的成本是5000元，生產1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現在生產1t甲種藥品的成本是3000元，生產1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?
老師點評：
絕對量：甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）÷2=1000元，乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3000）÷2=1200元，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大．
相對量：從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢?也就是能否說明乙種藥品成本的年平均下降率大呢?下面我們通過計算來說明這個問題．
解：設甲種藥品成本的年平均下降率為x，
則一年後甲種藥品成本為5000（1-x）元，兩年後甲種藥品成本為5000（1-x）元．
依題意，得5000（1-x）2=3000
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合題意，捨去）
設乙種藥品成本的平均下降率為y．
則：6000（1-y）2=3600
整理，得：（1-y）2=0.6
解得：y≈0.225
答：兩種藥品成本的年平均下降率一樣大．
因此，雖然絕對量相差很多，但其相對量也可能相等．
三、鞏固練習
新華商場銷售甲、乙兩種冰箱，甲種冰箱每台進貨價為2500元，市場調研表明：當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺．乙種冰箱每台進貨價為2000元，市場調研表明：當銷售價為2500元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降低45元時，平均每天就能多售出4臺，商場要想使這兩種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，那麼兩種冰箱的定價應各是多少?
四、應用拓展
例3．某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據市場分析，若每千克50元銷售，乙個月能售出500kg，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對這種水產品情況，請解答以下問題：
（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算銷售量和月銷售利潤．
（2）設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關係式．
（3）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應為多少?
分析：（1）銷售單價定為55元，比原來的銷售價50元提高5元，因此，銷售量就減少5×10kg．
（2）銷售利潤y=（銷售單價x-銷售成本40）×銷售量[500-10（x-50）]
（3）月銷售成本不超過10000元，那麼銷售量就不超過=250kg，在這個提前下，求月銷售利潤達到8000元，銷售單價應為多少．
解：（1）銷售量：500-5×10=450（kg）；銷售利潤：450×（55-40）=450×15=6750元
（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000
（3）由於水產品不超過10000÷40=250kg，定價為x元，則（x-400）[500-10（x-50）]=8000
解得：x1=80，x2=60
當x1=80時，進貨500-10（80-50）=200kg<250kg，滿足題意．
當x2=60時，進貨500-10（60-50）=400kg>250kg，（捨去）．
五、歸納小結
本節課應掌握：
建立多種一元二次方程的數學建模以解決如何全面地比較幾個物件的變化狀況的問題．
六、布置作業
1．教材p53 複習鞏固2 綜合運用7、9．
2．選用作業設計：
一、選擇題
1．乙個小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共（ ）．
a．12人 b．18人 c．9人 d．10人
2．某一商人進貨價便宜8%，而售價不變，那麼他的利潤（按進貨價而定）可由目前x增加到（x+10%），則x是（ ）．
a．12% b．15% c．30% d．50%
3．育才中學為迎接香港回歸，從2023年到2023年四年內師生共植樹1997棵，已知該校2023年植樹342棵，2023年植樹500棵，如果2023年和2023年植樹的年增長率相同，那麼該校2023年植樹的棵數為（ ）．
a．600 b．604 c．595 d．605
二、填空題
1．乙個產品原價為a元，受市場經濟影響，先提價20%後又降價15%，現價比原價多____%．
2．甲用1000元人民幣購買了一手**，隨即他將這手**轉賣給乙，獲利10%，乙而後又將這手**返賣給甲，但乙損失了10%，最後甲按乙賣給甲的**的九折將這手**賣出，在上述**交易中，甲盈了_________元．
3．乙個容器盛滿純藥液63l，第一次倒出一部分純藥液後用水加滿，第二次又倒出同樣多的藥液，再加水補滿，這時容器內剩下的純藥液是28l，設每次倒出液體xl，則列出的方程是________．
三、綜合提高題
1．上海甲商場七月份利潤為100萬元，九月份的利率為121萬元，乙商場七月份利率為200萬元，九月份的利潤為288萬元，那麼哪個商場利潤的年平均上公升率較大?
2．某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結1000個桃子，現準備多種一些桃樹以提高產量，試驗發現，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產量就會減少2個，如果要使產量增加15.2%，那麼應多種多少棵桃樹?
3．某玩具廠有4個車間，某周是質量檢查周，現每個車間都原有a（a>0）個成品，且每個車間每天都生產b（b>0）個成品，質量科派出若干名檢驗員周一、周二檢驗其中兩個車間原有的和這兩天生產的所有成品，然後，週三到周五檢驗另外兩個車間原有的和本週生產的所有成品，假定每名檢驗員每天檢驗的成品數相同．
（1）這若干名檢驗員1天共檢驗多少個成品?（用含a、b的代數式表示）
（2）若一名檢驗員1天能檢驗b個成品，則質量科至少要派出多少名檢驗員?
22 3實際問題與一元二次方程
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