本文發表於《山西教育》2023年第22期
例說初中數學習題的命制失誤
215006 江蘇省蘇州市第一中學劉祖希
解答數學習題是學習數學的重要環節．數學習題有三個基本功能：一是獲取知識，學生既要通過做題複習鞏固舊知識，也可從中獲取新知識；二是培養能力，學生的數學技能、能力、思維品質都會在解題中得到鍛鍊和提高；三是檢查與評價功能，數學考試借助數學習題可以很好地檢查學生的數學知識方法等的掌握程度以及能力發展水平，數學考題與數學習題沒有本質區別．但由於種種原因實際教學中命制數學習題常常會出現失誤，這就大大削弱了數學習題的作用，現就初中數學內容舉例說明．
一知識性錯誤
知識性錯誤一直是命題失誤的主要原因，表現形式多種多樣．
1， 因循守舊，照搬陳題
[例]已知x是最小的自然數，y 、z是有理數,且,求代數式
的值.（江蘇教育出版社《初中代數課課練》一年級上學期70頁）
[參***].
[辨析]依題意知x=0，y=-2，z=3x=0，很快代入、求得代數式的值為0.為什麼與參***不同？原來，當x=1，y=-2，z=3x=3時結果才為.
到底哪個正確？根據《中華人民共和國國家標準》（gb3100-3102-93），自然數包括0，因此本題x=0，結果為0.之所以出現這樣的錯誤，完全由於命題者照抄多年以前的舊題，而沒有依據新的標準變化相應地修改答案或變更題設.
[對策]修改參***為0或將原題中「自然數」改為「正整數」.
2， 創新失誤
習題創新，若只重形式，往往會出現命題失誤.
[例]若把公元2023年記作+2023年，那麼-2023年表示 ．
[參***]西元前2023年.
[辨析]這道題乍一看很有新意，其實是一道錯題．它考察的知識點是「用正負數表示相反意義的量」，前提是必須有「0」作為正負數的分界點，但歷史上並沒有公元0年.不知道命題者不知道這個歷史常識還是有意「虛設」了公元0年，這是不應該的.
[對策]本題沒有辦法修改，只有忍痛割愛了.
3， 題型選擇不當，造成答案混亂
數學開放題的使用已相當廣泛，開放題的乙個顯著特點是答案不唯一．倘若使用開放性習題而不能選擇恰當的題型，就會造成解答混亂，影響習題的檢查與評價功能．
[例]把寫成乘方形式為 ，其中為底數， 為指數．
[參***], , 5.
[辨析]本題是一道開放型習題，至少還有另一種答案：, , 5.即使命題者給出兩種答案，這道題還有問題．實際情況是學生填出了五花八門的答案，例如：
, , 5；, x , 5 我們不能因為前兩個空不匹配而全部判錯，又不能讓在學生犯錯的同時還給分，這就造成了教師的左右為難.其根源在於本題不該使用一題多空的填空題形式，而應該改用判斷正誤題或選擇題．
4， 數學的應用性與實際生活不符
[例]某學生某年將82元錢存入銀行，定期兩年，兩年後取出，共得99.22元，求銀行的年利率．（2023年甘肅省中考題）
[參***]設年利率為x,由題意可得, ,解得.
[辨析]實際生活中銀行並不是這樣算的，而是,=1.儲蓄問題，初中代數課本一年級上冊24頁專門談到：本息和=本金+本金×利率×期數，命題者把儲蓄問題等同於一般的百分數增長問題，這種錯誤造成的後果是可想而知的.
數學一定要為實際生活服務，而不能背離它.堅決打擊數學「假應用」.
二邏輯性錯誤
命制數學習題不僅需要豐厚的數學知識，還需要嚴密的數理邏輯（形式邏輯）知識.很多數學習題在知識上沒有漏洞，但有許多疏於邏輯的地方.
1,邏輯詞語使用不當
數學習題的邏輯性要求條件和結論相容、條件充分必要,等等.
[例]若，，那麼這兩個有理數一定是（ ）
a.│a│=│bb. a >0 , b<0, │a│>│b│
c. a >0 , b<0, │a│<│b│ <0 , b<0.
[參***]選b.
[辨析]這道選擇題,倘若要選乙個答案則只能是b.但注意到a,b的對稱性,發現a <0 , b>0,
│a│<│b│也滿足a+b>0,ab<0.說明b只是題設的乙個充分不必要條件.這道題存在邏輯詞語使用不准的錯誤.
[對策]將原題中「一定」改為「可能」.
[例]如果，那麼是 ( )
a.正數 b.負數 c. 正數和0 d.負數和0
[參***]選c.
[辨析]用嚴密邏輯來要求本題, c應敘述為「正數或0」.作為初一的數學習題可能無關緊要,但會影響以後對分類討論的完備性、方程組的解如何由各個方程的解確定以及高中的交集並集等問題的理解.
2,條件多餘,破壞條件的相容性
有時為了降低題目難度或在選擇題中考察間接解法,命題者有意增加一些過剩條件．但如果草率地增加多餘條件常常會導致矛盾,破壞條件的相容性,出現命題失誤．
[例]在銳角中，，，，的外接圓半徑，則
ab.cd.
[參***]選a.
[辨析]選出a不難.取乙個滿足條件的等邊三角形,則c=1,從而否定b,c,d．但本題是乙個錯題,因為在銳角△abc中,當∠a=600時,有300<∠b<900 ,從而，.當ac=1時,r<1<2r, [對策]去掉條件「r=2」或改為「r <1」．
三心理性失誤
近年來,心理因素等非智力因素對教學活動的影響受到人們的重視.數學命題的失誤相當一部分屬於心理性錯誤．
1， 順應心理
人的心理和思維習慣順應舊的知識或別人的思路進行下去，存在一種順應性.當這種作用發生時，往往難以察覺，這就是人們熟知的「預設」．
[例] 若是自然數，則x某次初一數學競賽選拔考試題）
[參***]5，7，8，9，10.
[辨析]很明顯，由於順應心理命題者把x也預設為自然數.這種預設還會波及到考生.預設以後，命題者和考生都把精力集中在12的約數個數上，很難回過頭來發現錯誤.
事實上，滿足要求的x有無窮多個.本題作為初一數學競賽題沒有起到選拔和鍛鍊學生思維的作用.
[對策]修改參***或將原題改為「若是自然數，則自然數x =（ ）.」
２，命題者的思維定勢
[例] 點a（5，）和點b（5，4）關於對稱.（2023年重慶市中考模擬試卷）
[參***] x軸.
[辨析]有考生答：點（5，0）.令閱卷老師驚嘆不已，青少年學生思維之靈活，實在是不可想象.
[對策]修改參***為：x軸或點（5，0）.
[例] 1點50分時鐘的時針與分針的夾角為 。（某次初一幾何考試題）
[參***].
[辨析]本題可答：；鈍角，命題者希望考生能按照自己的想法求出夾角的度數．事實上事與願違，提問含糊造成命題失誤．
數學來不得半點馬虎，越是重大的考試，命題要更加謹慎，稍微鬆懈就會出現漏洞：
[例] 已知： ,
求作：射線，使（寫出作法，保留作圖痕跡，不證明）.
（99年內蒙古西部地區中考題）
[試卷所給標準答案]
作法：（1）在和上分別擷取，使；
2）分別以d、e為圓心，
大於的長為半徑作弧，在
內兩弧交於點；
3）作射線；
就是所求的射線.
[辨析]這個解答對嗎？當然對.你滿意嗎？
不!因為我們還能找到一條滿足題目要求的射線：反向延長射線得射線（如圖），很容易證明.
因此滿足題意的射線有兩條射線、.之所以容易漏掉一解，是因為在大家心目當中,角的平分線就是使得的角.其實角平分線固然有，但滿足的射線卻不一定是角的平分線.
3，後續內容不適當提前
[例]判斷：是有理數初一數學同步講解與測試》中國青年出版社)
[辨析]初一學生只學習了有理數,尚未接觸無理數知識．此題內容不適當提前,造成學生接受有困難,這是一種命題失誤．
數學習題的糾錯工作近二十年來做了很多，但過去的錯誤方向和糾錯思路主要集中在數學的知識內容上．隨著教育的發展，這種錯誤減少了,但新的錯誤又接踵而至，有心理方面的，有邏輯方面的，還有違背新的教學目的的，都應當引起我們的重視．吃透大綱教材，適切學生的實際能力是命制數學習題的關鍵．合理命制數學習題，不僅可以充分發揮習題的功能，而且對學生學好數學將起著良好的導向作用．
例說初中數學命題的失誤與對策
3，題型選擇不當，造成答案混亂 數學開放題的使用已相當廣泛，開放題的乙個顯著特點是答案不唯一 倘若使用開放性習題而不能選擇恰當的題型，就會造成解答混亂，影響習題的檢查與評價功能 例 把寫成乘方形式為 其中為底數，為指數 參 5.辨析 本題是一道開放型習題，至少還有另一種答案 5.即使命題者給出兩種答...
初中數學22命題與證明
1 下列屬於定義的是 a 兩點確定一條直線 b 兩直線平行，同位角相等 c 等角的補角相等 d 線段是直線上的兩點和兩點間的部分 2 下列說法正確的是 a 作線段cd ab 是乙個命題 b 三角形的三條中線的交點為三角形的重心 c 命題 若x 1，則x2 1 的逆命題也是正確的 d 具有相同字母的項...
初中數學命題的方法和技巧
概論新課程改革，更新了教師們的教育理念，提公升了實踐能力，課堂教學發生了較為理性的變化，數學教學的評價也發生了一些可喜的變化。近幾年來，寧波市教研室及各縣市區教研室也組織了數學命題比賽，一定程度上促進了教師命題能力的提高。但數學問題的編制仍是極大部分教師的軟肋，大家應該能切身的體會到，但凡各級各類優...