2023年石家莊市高中畢業班教學質量檢測(二)
高三數學（理科答案）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1-5 addcb 6-10 cccab 11-12db
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 614. 241516．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
(原則上只給出一種標準答案,其他解法請老師根據評分標準酌情處理)
17.（本小題滿分12分）
解：（ⅰ）因為
……………2分
4分所以的最小正週期為.……………6分
（ⅱ）因為
……………8分
於是，當時，
取得最大值1；…………10分
當取得最小值—2.……………12分
18. （本小題滿分12分）
(ⅰ)依題意可知
……………3分
所以綜合素質成績的的平均值為74.6.……………5分
(ⅱ)由頻率分布直方圖知優秀率為,
由題意知，
故其分布列為
………………9分
.………………12分
19．（本小題滿分12分）
（ⅰ）證明：連線則,因為am=mb,所以mn……………2分
又,所以mn//.…………4分
（ⅱ）作,
因為面底面
所以以o為原點，建立如圖所示空間直角座標系，則,b(-1,0,0),c(1,0,0)
.由可求出
…………6分
設p(x,y,z),
.解得,
,.設平面的法向量為
解得………8分
同理可求出平面的法向量.…………10分
由麵平面，得，即
解得：………………12分
20. （本小題滿分12分）
解:（ⅰ）當直線與拋物線無公共點時，
由定義知為拋物線的準線，拋物線焦點座標
由拋物線定義知拋物線上點到直線的距離等於其到焦點f的距離.
所以拋物線上的點到直線和直線的距離之和的最小值為焦點f到直線的距離.
所以，則=2.………………3分
當直線與拋物線有公共點時，把直線的方程與拋物線方程聯立消去得關於的方程，由且得，此時拋物線上的點到直線的最小距離為，不滿足題意.
所以，拋物線方程為.…………4分
（ⅱ）設m，由題意知直線斜率存在，設為k,且,所以直線方程為,
代入消x得：
由………………6分
所以直線方程為，令x=-1,又由得
設則由題意知……………8分
，把代入左式,
得：，……………10分
因為對任意的等式恆成立，
所以所以即在x軸上存在定點q（1,0）在以mn為直徑的圓上.……………12分
21. （本小題滿分12分）
解：（ⅰ）f(x)的定義域為，
時， >0,在上單調遞增；
時， <0,在上單調遞減.
綜上所述：
在上單調遞增,在上單調遞減.…………3分
（ⅱ）要證，只需證,令即證，
令，因此得證.…………………6分
要證，只要證，
令，只要證，
令，因此，
所以得證.………………9分
另一種的解法:
令=, ,
則 ,
所以在單調遞增，
即得證.
(ⅲ)由（ⅱ）知,（），則
所以.………………12分
請考生在第22～24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分
22．（本小題滿分10分）選修4-1幾何證明選講
證明：(ⅰ)由弦切角定理知 …………2分
由， 所以, 即…………5分
(ⅱ)由(ⅰ)可知
所以,……………7分
因為，,
所以∽,
所以,即…………10分
即：.23．（本小題滿分10分）選修4-4：座標系與引數方程
解：(ⅰ)原式可化為，…………2分
即……………4分
(ⅱ)依題意可設由(ⅰ)知圓c圓心座標（2,0）。
,……………6分
,…………8分
所以.…………10分
24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
解：(ⅰ)由題意原不等式可化為：
即：……………2分
由得 由得
綜上原不等式的解為……………5分
(ⅱ)原不等式等價於
令，即，…………8分
由，所以，
所以.………………10分
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