【學習目標】
1．理解三元一次方程(或組)的含義；
2．會解簡單的三元一次方程組；
3. 會列三元一次方程組解決有關實際問題.
【要點梳理】
要點一、三元一次方程及三元一次方程組的概念
1.三元一次方程的定義
含有三個未知數，並且含有未知數的項的次數都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
要點詮釋：
(1)三元一次方程的條件：①是整式方程，②含有三個未知數，③含未知數的項的最高次數是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不為零．
2．三元一次方程組的定義
一般地，由幾個一次方程組成，並且含有三個未知數的方程組，叫做三元一次方程組.
要點詮釋：
(1) 三個方程中不一定每乙個方程中都含有三個未知數，只要三個方程共含有三個未知量即可．
（2）在實際問題中含有三個未知數，當這三個未知數同時滿足三個相等關係時，可以建立三元一次方程組求解．
要點二、三元一次方程組的解法
解三元一次方程組的一般步驟
(1)利用代入法或加減法，把方程組中乙個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同乙個未知數，得到關於另外兩個未知數的二元一次方程組；
(2)解這個二元一次方程組，求出兩個未知數的值；
(3)將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的乙個係數比較簡單的方程，得到乙個一元一次方程；
(4)解這個一元一次方程，求出最後乙個未知數的值；
(5)將求得的三個未知數的值用「{」合寫在一起．
要點詮釋：
（1）解三元一次方程組的基本思路是：通過「代入」或「加減」消元，把「三元」化為「二元」．使解三元一次方程組轉化為解二元一次方程組，進而轉化為解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據各方程特點尋求其較簡單的解法．
要點三、三元一次方程組的應用
列三元一次方程組解應用題的一般步驟
1．弄清題意和題目中的數量關係，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(或三個)未知數；
2．找出能夠表達應用題全部含義的相等關係；
3．根據這些相等關係列出需要的代數式，從而列出方程並組成方程組；
4．解這個方程組，求出未知數的值；
5．寫出答案(包括單位名稱)．
要點詮釋：
(1)解實際應用題必須寫「答」，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的應該捨去．
(2)「設」、「答」兩步，都要寫清單位名稱，應注意單位是否統一．
(3)一般來說，設幾個未知數，就應列出幾個方程並組成方程組．
【典型例題】
型別一、三元一次方程及三元一次方程組的概念
1.下列方程組中是三元一次方程組的是( )
a． b． c． d．
【答案】d
【解析】a選項中與中未知數項的次數為2次，故a選項不是；b選項中，，不是整式，故b選項不是；c選項中有四個未知數，故c選項不是；d項符合三元一次方程組的定義．
【總結昇華】理解三元一次方程組的定義要注意以下幾點：(1)方程組中的每乙個方程都是一次方程；(2)一般地，如果三個一次方程合起來共有三個未知數，它們就能組成乙個三元一次方程組．
型別二、三元一次方程組的解法
2. (韶關)解方程組
【思路點撥】方程①是用未知數x表示y的式子，將①代入②可得二元一次方程組．
【答案與解析】
解：將①代入②得：5x+3(2x-7)+2z＝2，
整理得：11x+2z＝23 ④
由此可聯立方程組，
③+④×2得：25x＝50，x＝2．
把x＝2分別代入①③可知：y＝-3，．
所以方程組的解為．
【總結昇華】解三元一次方程組的思想仍是消元，是用加減消元法，還是用代入消元法，要根據方程組的特徵來確定，一定要選擇較簡便的方法．
【三元一次方程組例1】
舉一反三：
【變式】解方程組：
【答案】
解：①+②得：
①×2+③得：
由此可得方程組：
④－⑤得：，
將代入⑤知：
將，代入①得：
所以方程組的解為：
【三元一次方程組例2（2）】
3. 解方程組
【答案與解析】
解法一：原方程可化為：
由①②得：， ④
將④代入②得：，得： ⑤
將⑤代入④中兩式，得：，
所以方程組的解為：
解法二：設，則
將③代入②得：，
將代入③得：，
所以方程組的解為：
【總結昇華】對於這類特殊的方程組，可根據其方程組中方程的特點，採用一些特殊的解法(如設比例係數等)來解．
舉一反三：
【變式】方程組的解為
【答案】（提示：將三式左右分別相加，求得，再分別計算較簡單．）
型別三、三元一次方程組的應用
4.黃岡市在國慶節前夕舉辦了慶祝建國六十一週年足球聯賽活動，這次足球聯賽共賽11輪，勝一場記3分，平一場記一分，負一場記0分．某校隊所負場數是勝的場數的，結果共得20分．問該校隊勝、平、負各多少場?
【思路點撥】該題中的已知量有比賽總場數、總得分數、勝的場數與負的場數之間的關係，等量關係有：
①勝場數+負場數+平場數＝11；
②勝得分+平得分+負得分＝總得分；
③勝場數＝負場數×2．
將以上相等關係轉化成方程(組)可得解．
【答案與解析】
解：設該校隊勝x場、平y場、負z場，根據題意，得：
，解這個三元一次方程組，得．
答：該校隊勝6場、平2場、負3場．
【總結昇華】用三元一次方程組解答實際問題的方法與用二元一次方程組解答實際問題的方法類似，根據題目給出的條件尋找相等關係是利用方程解應用題的重要一環．
舉一反三：
【變式】現有面值為2元、1元和5角的人民幣共24張，幣值共計29元，其中面值為2元的比1元的少6張，求三種人民幣各多少張?
【答案】
解：設面值為2元、1元和5角的人民幣分別為x張、y張和z張．
依題意，得
把③分別代入①和②，得
⑤×2，得6x+z＝46 ⑥
⑥-④，得4x＝28，x＝7．
把x＝7代入③，得y＝13．
把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．
∴方程組的解是．
答：面值為2元、l元和5角的人民幣分別為7張、13張和4張．
型別一、三元一次方程及三元一次方程組的概念
1. 下列方程組不是三元一次方程組的是（ ）．
a． b． c． d．
【思路點撥】根據三元一次方程組的定義來求解，對a、b、c、d四個選項進行一一驗證．
【答案】b
【解析】
解：由題意知，含有三個相同的未知數，每個方程中含未知數的項的次數都是1次，並且一共有三個方程，叫做三元一次方程組．
a、滿足三元一次方程組的定義，故a選項錯誤；
b、x2-4=0，未知量x的次數為2次，∴不是三元一次方程，故b選項正確；
c、滿足三元一次方程組的定義，故c選項錯誤；
d、滿足三元一次方程組的定義，故d選項錯誤；
故選b．
【總結昇華】三元一次方程組中的方程不一定都是三元一次方程，並且有時需對方程化簡後再根據三元一次方程組的定義進行判斷．
型別二、三元一次方程組的解法
2.解三元一次方程組
【思路點撥】特點：①，③是比例形式，策略：引入引數k．
【答案與解析】
解法一：由①，設，則x＝3k+1，y＝4k+2，代入②，③得
，解之，得．
從而x＝7，y＝10．
故原方程組的解為，
解法二：由③得，則y＝5k，z＝3k．代入①、②得：，
解得，故原方程組的解為．
【總結昇華】若某一方程是比例形式，則先引入引數，後消元．
舉一反三：
【變式】解方程組
【答案】
解：由①，得3x＝2y，即， ④
由②，得5y＝4z，即，⑤
把④、⑤代入③，得．
解得y＝12．⑥
把⑥代入④，得x＝8，把⑥代入⑤，得z＝15．
所以原方程組的解為
【三元一次方程組例3】
3.已知方程組的解使得代數式x-2y+3z的值等於-10，求a的值．
【思路點撥】由題意可知，此方程組中的a是已知數，x、y、z是未知數，先解方程組，求出x，y，z(含有a的代數式)，然後把求得的x、y、z代入等式x-2y+3z＝-10，可得關於a的一元一次方程，解這個方程，即可求得a的值．
【答案與解析】
解法一： ②-①，得z-x＝2a ④
③+④，得2z＝6a，z＝3a
把z＝3a分別代入②和③，得y＝2a，x＝a．
∴ ．
把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得
a-2×2a+3×3a＝-10．
解得．解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a．
即x+y+z=6a ④
④-①，得z＝3a，④-②，得x＝a，④-③，得y＝2a．
∴ ，
把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得
a-2×2a+3×3a＝-10．
解得．【總結昇華】當方程組中三個方程的未知數的係數都相同時，可以運用此題解法2中的技巧解這類方程組．
【三元一次方程組例4】
舉一反三：
【變式】若，則x：y：z＝ .
【答案】
型別三、三元一次方程組的應用
4. (涼山)甲、乙、丙三塊地，草長得一樣密，一樣快，甲地公頃可供12頭牛吃4周；乙地10公頃可供21頭牛吃9周，求丙地24公頃可供幾頭牛吃18周?
【思路點撥】本題草地上原有一些草，其數量不知，草地上的草還在不停地生長，但生長的速度不知道，因此解題時應把原有的草量、草的生長速度及每頭牛每週的食草量用字母表示，設成輔助未知數，再根據題意便可列出方程組．
【答案與解析】
解：設每公頃草地原有牧草akg，每週每公頃草地生長草bkg，每頭牛每週吃草ckg，丙地24公頃地可供x頭牛吃18周．
根據題意得
由①②得代入③，得x＝36．
答：丙地24公頃可供36頭牛吃18周．
【總結昇華】用三元一次方程組解答實際問題的方法與用二元一次方程組解答實際問題的方法類似，根據題目給出的條件尋找相等關係是利用方程解應用題的重要一環．
舉一反三：
【變式】某車間每天可以生產甲種零件600個或乙種零件300個或丙種零件500個，這三種零件各乙個可以配成一套，現要在63天的生產中，使生產的三種零件全部配套，這個車間應該對這三種零件的生產各用幾天才能使生產出來的零件配套?
【答案】
解：設三種零件分別用x天、y天、z天．
根據題意，得
三元一次方程組及其解法
李村一中課堂導學案 主備人 梁軍軍審核人 趙劍鋒班級日期姓名 課題 三元一次方程組及其解法 一 匯入新課 1分鐘 二 明確目標 1分鐘 知道什麼是三元一次方程組，會解簡單的三元一次方程組。三 自主學習 認真閱讀課本，標畫基本內容 自主完成習題 小組討論不同點 補錯糾正 交流展示 20分鐘 一.1 什...
三元一次方程組訓練題
一選擇題 1.下列方程組中是三元一次方程組的是 a b c d 2.方程3x y 7 0，2x 3y 1，y kx 9有公共解，則k的值為 a.3 b.4 c.0 d.1 3.下列說法正確的是 a.方程3x 2y z 20有唯一組解 b.若x y z是非負數，則三元一次方程3x 5y 2z 0只有一...
實際問題與二元一次方程組 二 基礎 知識講解
撰稿 孫景豔責編 趙煒 學習目標 1 熟悉行程 方案 數字等問題的解決方法 2.進一步研究用二元一次方程組解決實際問題 要點梳理 要點一 常見的一些等量關係 二 1.行程問題 速度 時間 路程.順水速度 靜水速度 水流速度.逆水速度 靜水速度 水流速度.2 存貸款問題 利息 本金 利率 期數.本息和...