數學中的陷阱題,往往針對某些概念、定理的掌握及運算中的薄弱環節,在考生容易出現錯誤的地方著手編擬,或是針對考生思維的慣性或弱點來設計障礙,或是針對考生解決某些問題的方法上的缺陷設定問題.
例1 【2018四川省廣元市統考】已知是實數，是虛數單位，若是純虛數，則
易錯分析本題易混淆複數的相關概念,忽視虛部不為零的限制條件,導致多解.
▲跳出陷阱在解答概念類試題時,一定要仔細辨析所求的問題,在明確概念的前提下再解答.本題要搞清楚虛數,純虛數,實數與複數的概念.
【2018湖北省穩派教育聯考】若，則「」的乙個充分不必要條件是
a. b. c.且 d.或
例2 【2018東北四校聯考】已知函式，現將的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫座標縮短為原來的倍，縱座標不變，得到函式的圖象，則在的值域為（ ）
a. b. c. d.
易錯分析該題易出現的問題有兩個:一是不能確定函式解析式的變換與圖象平移方向之間的關係;二是記錯函式圖象上點的橫座標的伸縮變化與函式解析式變換之間的對應關係.
【答案】a
▲跳出陷阱三角函式圖象的平移與伸縮變換問題,關鍵是把握變換前後兩個函式解析式之間的關係,熟記相關的規律.如函式y=f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位,得到函式y=f(x+m)的圖象;若向右平移m(m>0)個單位,得到函式y=f(x-m)的圖象.若函式y=f(x)的圖象上的點的橫座標變為原來的ω(ω>0)倍,則得到函式y=f 的圖象.
已知函式，把函式的圖象向右平移個單位，得到函式的圖象，若是在內的兩根，則的值為（ ）
a. b. c. d.
例3 已知橢圓+=1的半焦距為c,曲線γ上任一點(x,y)(x≥0)到定點f(1,0)的距離比到y軸的距離大c.
(1)求曲線γ的方程;
(2)直線l過點f,交曲線γ於a,b兩點,過a,b分別作曲線γ的切線,交於點p,判斷 ·是否為定值.若是,請給予證明並求出該定值;若不是,請說明理由.
易錯分析直線l過點f交曲線γ於a,b兩點,經常設直線l的方程為y=k(x-1),k≠0,漏掉了過點f的直線l與x軸垂直這一特殊情況,導致錯誤.
正確解析 (1)因為橢圓+=1的半焦距為c,所以c==1,
因為曲線γ上任一點(x,y)(x≥0)到定點f(1,0)的距離比到y軸的距離大1,
所以曲線γ上任一點(x,y)(x≥0)到定點f(1,0)的距離等於到直線x=-1的距離.
根據拋物線的定義,知曲線γ的軌跡為拋物線.
設拋物線γ的方程為y2=2px(p>0),
所以=1,解得p=2,所以曲線γ的方程為y2=4x.
(2)·為定值0.證明如下:
①當過點f的直線l與x軸垂直時,則直線l的方程為x=1,
根據拋物線的對稱性知,點p在x軸上,
所以pf⊥ab,所以·=0.
由y2=4x(y<0),得y=-2,y'=-,所以過點b的切線pb的方程為y-y2=-(x-x2),即y=--;
由得即p.所以直線pf的斜率kpf==-,
所以kpf·k=-×k=-1,
所以pf⊥ab.
綜上所述,·為定值,且定值為0.
▲跳出陷阱破解橢圓、拋物線、直線、平面向量的綜合問題需注意:一是活用定義可加快求解速度,還可避開煩瑣的運算;二是注意特殊情況,如用點斜式設直線方程時,應注意直線斜率不存在的特殊情形;三是注意適時轉化,如例3,將判斷·是否為0轉化為判斷兩直線斜率的積是否為-1.
數列的前項和是， ，則
例4 已知函式．
（ⅰ）求函式的單調區間；
（ⅱ）當時，證明：對任意的，．
【解析】（1）函式的定義域為， ，
當時，對任意的恆成立，所以函式單調遞增；
當變化時，和變化情況如下表
，因為，且，所以，因此不等式得證．
易錯分析該題易出現的問題是討論f(x)的單調性時,對引數進行分類討論的標準不正確,造成分類的重複或遺漏.
正確解析 【解析】（1）函式的定義域為， ，
，此時方程有唯一解，滿足
當變化時，和變化情況如下表
，因為，且，所以，因此不等式得證．
▲跳出陷阱含參函式單調性的分析是乙個難點,易出現的問題是對引數分類的標準不清楚,導致分類混亂.明確標準,合理分類是解決此類問題的關鍵,討論含參函式單調性的問題,對引數進行分類討論的基本順序為①最高次冪係數是否為0;②方程f '(x)=0是否有解;③解是否在定義域內;④解之間的大小關係.分類後確定導函式的符號,應畫出導函式的圖象,根據圖象與x軸的相對位置確定導函式的符號,進而寫出單調區間.
【變式訓練】
已知（為自然對數的底數）．
（ⅰ）討論的單調性；學/科*-網
（ⅱ）若有兩個零點，求的取值範圍；
（2）在（1）的條件下，求證：．
例5 用1,2,3,4,5,6組成各位數字不重複的六位數,滿足1不在左、右兩端,2,4,6三個偶數中有且只有兩個偶數相鄰,則這樣的六位數的個數為( )
a.432 b.288 c.216 d.144
易錯分析該題易出現的問題是不注意審題,導致漏掉或錯用題中的限制條件.
答案 b
正確解析解法一:先考慮只有2,4相鄰,可以用2,4相鄰的個數減去2,4與6相鄰的個數.
2,4相鄰,把2,4**在一起,與另外4個數排列(相當於5個元素排列),1不在左、右兩側,則這樣的六位數的個數為2!·3·4!=144.
第三步,兩組偶數插空(1,3,5全排列後形成4個空),不同的方法有種.
由分步乘法計數原理可得,滿足只有兩個偶數相鄰的排法種數有=432.
其中1在左、右兩端的情況:
第一步,選出兩個偶數相鄰(**法),不同的方法有種;
第二步,1,3,5排列,且1在兩端,不同的方法有種;
第三步,兩組偶數插空(1在兩端,兩組偶數只能插在1,3,5排好後形成4個空中的3個),不同的方法有種.
故1在左、右兩端的排法種數有=144.
所以滿足條件的排法種數有432-144=288.即滿足題意的六位數的個數為288.故選b.
▲跳出陷阱排列組合的實際應用題中限制條件較多,如何處理這些限制條件是解決問題的關鍵.一般來說要遵循排列組合的基本策略:先組後排,特殊優先.
組合中要注意均分問題,記住相應的規律,如本題有兩個偶數相鄰——**法;只有兩個相鄰,即與第三個偶數不相鄰——插空法,明確處理此類問題的基本順序,然後逐步求解即可.
【變式訓練】 【2018河南省中原名校聯考】已知函式， 的圖象在區間上有且只有9個交點，記為，則（ ）
a. b. 8 c. d.
例6 我國齊梁時代的數學家祖
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