1.6微積分基本定理
一：教學目標
知識與技能目標
通過例項，直觀了解微積分基本定理的含義，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分
過程與方法
通過例項體會用微積分基本定理求定積分的方法
情感態度與價值觀
通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉化、對立統一的辯證關係，培養學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。
二：教學重難點
重點通過**變速直線運動物體的速度與位移的關係，使學生直觀了解微積分基本定理的含義，並能正確運用基本定理計算簡單的定積分。
難點了解微積分基本定理的含義
三：教學過程：
1、複習：
定積分的概念及用定義計算
2、引入新課
我們講過用定積分定義計算定積分,但其計算過程比較複雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計算定積分的新方法，也是比較一般的方法。
變速直線運動中位置函式與速度函式之間的聯絡
設一物體沿直線作變速運動，在時刻t時物體所在位置為s(t),速度為v(t)（），
則物體在時間間隔內經過的路程可用速度函式表示為。
另一方面，這段路程還可以通過位置函式s（t）在上的增量來表達，即
=而。 對於一般函式，設，是否也有
若上式成立，我們就找到了用的原函式（即滿足）的數值差來計算在上的定積分的方法。
注：1：定理如果函式是上的連續函式的任意乙個原函式，則
證明：因為=與都是的原函式，故
-=c（）
其中c為某一常數。
令得-=c，且==0
即有c=，故=+
=-=令，有
此處並不要求學生理解證明的過程
為了方便起見，還常用表示，即
該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續函式定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉化成求原函式的問題，是微分學與積分學之間聯絡的橋梁。 它不僅揭示了導數和定積分之間的內在聯絡，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為後面的學習奠定了基礎。
因此它在教材中處於極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學的發展帶來了深遠的影響，是微積分學中最重要最輝煌的成果。
例1．計算下列定積分：
（1）； （2）。
練習：計算
例2．計算下列定積分：
。由計算結果你能發現什麼結論？試利用曲邊梯形的面積表示所發現的結論。
解：因為，所以，
，.可以發現，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0:
( l ）當對應的曲邊梯形位於 x 軸上方時（圖1.6一3 ) ，定積分的值取正值，且等於曲邊梯形的面積；
圖1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）當對應的曲邊梯形位於 x 軸下方時（圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負值，且等於曲邊梯形的面積的相反數；
( 3）當位於 x 軸上方的曲邊梯形面積等於位於 x 軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0（圖 1 . 6 一 5 ) ，且等於位於 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位於 x 軸下方的曲邊梯形面積．
例3．汽車以每小時32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設汽車以等減速度=1.8公尺/秒2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？
微積分基本定理揭示了導數和定積分之間的內在聯絡，同時它也提供了計算定積分的一種有效方法．微積分基本定理是微積分學中最重要的定理，它使微積分學蓬勃發展起來，成為一門影響深遠的學科，可以毫不誇張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果．
四：課堂小結：
本節課借助於變速運動物體的速度與路程的關係以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進而推廣到了一般的函式，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡便方法，運用這種方法的關鍵是找到被積函式的原函式，這就要求大家前面的求導數的知識比較熟練，希望，不明白的同學，回頭來多複習！
1.7定積分的簡單應用
一、學習目標
1.進一步讓學生深刻體會「分割、以直代曲、求和、逼近」求曲邊梯形的思想方法；
2.讓學生了解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理；
3.初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型及方法；
4.體會定積分在物理中應用（變速直線運動的路程、變力沿直線做功）
二、教學重難點
重點曲邊梯形面積的求法
難點定積分求體積以及在物理中應用
教學過程：
1、複習
1.求曲邊梯形的思想方法是什麼？
2.定積分的幾何意義是什麼？
3.微積分基本定理是什麼？
2、定積分的應用
（一）利用定積分求平面圖形的面積
例1．計算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.
【分析】兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對應的曲邊梯形的面積的差得到。
【點評】在直角座標系下平面圖形的面積的四個步驟：
1.作圖象；2.求交點；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。
鞏固練習計算由曲線和所圍成的圖形的面積.
例2．計算由直線，曲線以及x軸所圍圖形的面積s.
分析：首先畫出草圖（圖1.7 一2 ) ，並設法把所求圖形的面積問題轉化為求曲邊梯形的面積問題．與例 1 不同的是，還需把所求圖形的面積分成兩部分s1和s2．為了確定出被積函式和積分的上、下限，需要求出直線與曲線的交點的橫座標，直線與 x 軸的交點．
由上面的例題可以發現，在利用定積分求平面圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀確定出被積函式以及積分的上、下限．
例3.求曲線與直線軸所圍成的圖形面積。 練習
1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。
2、求由拋物線及其在點m（0，－3）
和n（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。
3、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。
4、在曲線上的某點a處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求：切點a的座標以及切線方程.
略解：如圖由題可設切點座標為，則切線方程
為，切線與軸的交點座標為
，則由題可知有
，所以切點座標與切線方程分別為
總結：1、定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數和，即.
因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函式的影象與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.
2、求曲邊梯形面積的方法與步驟：
（1） 畫圖，並將圖形分割為若干個曲邊梯形；
（2） 對每個曲邊梯形確定其存在的範圍，從而確定積分的上、下限；
（3） 確定被積函式；
（4） 求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和。
（二）定積分在物理中的應用
1、求變速直線運動的路程
我們知道，作變速直線運動的物體所經過的路程s，等於其速度函式v=v(t)(v(t)≥0)在時間區間[a，b]上的定積分，即
例3、一輛汽車的速度一時間曲線如圖所示．求汽車在這1 min 行駛的路程．
2、變力作功
一物體在變力f（x）（單位：n）的作用下做直線運動，如果物體沿著與f相同的方向從x=a移動到x=b(a例4、如圖，在彈性限度內，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置lm 處，求克服彈力所做的功．
例5、一物體按規律做直線運動，式中x為時間t內通過的距離，媒質的阻力與速度的平方成正比（比例係數為正實數k），試求物體由x=0運動到x=a時，阻力做的功．
課堂小結：
本節課主要學習了利用定積分求一些曲邊圖形的面積，即定積分在幾何中的應用，以及定積分在物理學中的應用，要掌握幾種常見圖形面積的求法，並且要注意定積分的幾何意義，不能等同於圖形的面積，要注意微積分的基本思想的應用與理解．
課下提高練習、
1、如果1n能拉長彈簧1cm，為了將彈簧拉長6cm，需做功（ ）
a．0.18jb．0.26j
c．0.12jd．0.28j
2、求由圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇ｘ為積分變數，則積分區間為（ ）
a．［0b．［0，2］
c．［1，2d．［0，1］
3、已知自由落體運動的速率，則落體運動從到所走的路程為（ ）
ab．cd．
二、填空題
4、將由y=cosx，x=0，x=，y=0所圍圖形的面積寫成定積分形式為
三、解答題
5、求直線y＝2x＋3與拋物線y＝x2所圍成的圖形面積．
6、求由拋物線及其在點m（0，－3）和n（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積．
7、在曲線上的某點a處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為．試求：切點a的座標以及切線方程．
8、如圖，求由兩條曲線，及直線y=－1所圍成圖形的面積．
9、a、b兩站相距7.2km，一輛電車從a站開往b站，電車開出t s後到達途中c點，這一段的加速度為1.2t(m/s2)，到c點的速度為24m/s，從c點到b點前的d點以等速行駛，從d點開始剎車，經t s後，速度為（24－1.
2t）m/s，在b點恰好停車，試求：
（1）a、c間的距離；
（2）b、d間的距離；
（3）電車從a站到b站所需的時間．
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