2．2.1 橢圓及其標準方程(一)
1．橢圓定義：如右圖所示，平面內與兩個定點f1，f2的距離之和等於常數(大於|f1f2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
想一想：平面內到兩個定點f1，f2的距離之和等於常數的點的集合一定是橢圓嗎？
2．如右圖所示，取過焦點f1，f2的直線為x軸，線段f1f2的垂直平分線為y軸，設p(x，y)為橢圓上的任意一點，橢圓的焦距是2c(c>0)，則f1(－c，0)，f2(c，0)，又設p與f1，f2距離之和等於2a(2a＞2c)(常數)，令a2－c2＝b2，可求得橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．
想一想：已知a＝4，b＝3，橢圓焦點在x軸，則橢圓的標準方程為
3．如右圖所示，取過焦點f1，f2的直線為y軸，線段f1f2的垂直平分線為x軸，設p(x，y)為橢圓上的任意一點，橢圓的焦距是2c(c＞0)，則f1(0，－c)，f2(0，c)，又設p與f1，f2距離之和等於2a(2a＞2c)(常數)，令a2－c2＝b2，可求得橢圓的標準方程為＋＝1.
想一想：已知a＝5，c＝2，焦點在y軸上，則橢圓的標準方程為
基礎梳理
1．想一想：不一定，只有常數大於|f1f2|時，點的集合才是橢圓，當常數等於|f1f2|時，點的集合是線段f1f2，當常數小於|f1f2|時，點的軌跡不存在．
2．想一想：＋＝1
3．想一想：＋＝1
1．設p是橢圓＋＝1上的任意一點，若f1、f2是橢圓的兩個焦點，則|pf1|＋|pf2|等於( )
a．10 b．8
c．5 d．4
2．平面內一動點m到兩定點f1、f2距離之和為常數2a，則點m的軌跡為( )
a．橢圓 b．圓
c．無軌跡 d．橢圓或線段或無軌跡
3．在橢圓的標準方程中，a＝6，b＝，則橢圓的標準方程是( )
a.＋＝1 b.＋＝1
c.＋y2＝1 d．以上都不對
自測自評
1．解析：∵橢圓中a2＝25，∴2a＝10.
由橢圓的定義知|pf1|＋|pf2|＝2a＝10.
答案：a
2．解析：當2a＞|f1f2|時，軌跡為橢圓；當2a＝|f1f2|時，軌跡為線段；當2a＜|f1f2|時，軌跡不存在．
答案：d
3．解析：因為題中給出的條件不能確定橢圓的焦點所在的座標軸，所以橢圓的方程應有兩種形式．
答案：d
1．橢圓＋＝1的焦點座標是( )
a．(±5，0) b．(0，±5)
c．(0，±12) d．(±12，0)
1．c2．(2014·廣州高二檢測)設f1(－4，0)，f2(4，0)為定點，動點m滿足|mf1|＋|mf2|＝8，則動點m的軌跡是( )
a．橢圓 b．直線 c．圓 d．線段
2．解析：因為|mf1|＋|mf2|＝|f1f2|，所以動點m的軌跡是線段．
答案：d
3．「1a．充分不必要條件
b．必要不充分條件
c．充要條件
d．既不充分也不必要條件
3．解析：當方程＋＝1表示橢圓時，必有所以1答案：b
4．a＝6，c＝1，焦點在y軸上的橢圓的標準方程是
4.＋＝1
5．已知橢圓＋＝1上的一點p到橢圓乙個焦點的距離為3，到另一焦點的距離為7，則m等於( )
a．10 b．5 c．15 d．25
5．解析：由橢圓定義知|pf1|＋|pf2|＝2a＝10，
∴a＝5，∴a2＝25，即m＝25.
答案：d
6．設p是橢圓＋＝1上一點，p到兩焦點f1，f2的距離之差為2，則△pf1f2是( )
a．銳角三角形 b．直角三角形
c．鈍角三角形 d．等腰直角三角形
6．解析：由橢圓定義知|pf1|＋|pf2|＝2a＝8.
又|pf1|－|pf2|＝2，∴|pf1|＝5，|pf2|＝3.
又|f1f2|＝2c＝2＝4，∴△pf1f2為直角三角形．
答案：b
7．設α∈，方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則
7．解析：依題意有sin α＞cos α＞0，因為 α∈，所以＜α＜.
答案：8．設p是橢圓＋＝1上的點，f1，f2分別為橢圓的左、右焦點，則|pf1|·|pf2|的最大值是
8．解析：由題意知：|pf1|＋|pf2|＝2a＝8，
所以|pf1|·|pf2|≤()2＝()2＝16，當且僅當|pf1|＝|pf2|時取「＝」號，故|pf1|·|pf2|的最大值是16.
答案：16
9．已知乙個儲油罐橫截面的外輪廓線是乙個橢圓，它的焦距為2.4 m，外輪廓線上點到兩個焦點距離的和為3 m，求這個橢圓的標準方程．
9．解析：根據題意，c＝1.2，a＝1.5，所以b＝＝＝0.9，
所以橢圓的標準方程為＋＝1或＋＝1.
10．已知方程k2x2＋(k2－2k＋2)y2＝k.
(1)k為何值時，方程表示直線？
(2)k為何值時，方程表示圓？
(3)k為何值時，方程表示橢圓？
10．解析：因為k2－2k＋2＝(k－1)2＋1≥1，
(1)當k2＝0，即k＝0時，方程表示直線，該直線為y＝0.
(2)若表示圓，則k2－2k＋2＝k2，且k＞0，解得k＝1.
(3)若表示橢圓，則k2＞0，k＞0且k2－2k＋2≠k2，解得k＞0，且k≠1.
綜上知(1)k＝0時，方程表示直線；(2)k＝1時，方程表示圓；(3)k＞0，且k≠1時，方程表示橢圓．
橢圓及其標準方程
申潛 貴州省開陽縣楠木渡鎮中學 550307 一 教學背景分析 高中數學新課標倡導自主探索，動手實踐 合作交流 自主學習等學習的方式，要設立 數學探索 學習活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程。本節課的設計力圖體現 教師為主導,學生為主體 的教學思想。在教學過程中始終本著 教師是課堂教學的組織者 引...
橢圓及其標準方程
本節課前面研究了曲線與方程的對應關係，介紹了座標法和解析幾何的基本思想，以及解析幾何的基本問題，即曲線的已知條件求曲線方程 通過方程研究曲線的性質。本節研究通過求橢圓的標準方程，使學生掌握推導出這一類軌跡方程的一般規律和化簡的常用的方法。教材是以橢圓為例，詳細的說明在解析幾何中怎樣利用方程研究曲線的...
橢圓及其標準方程
教學目標 一 知識目標 掌握橢圓的定義及其標準方程，能正確推導橢圓的標準方程 二 能力目標 培養學生的動手能力 合作學習能力和運用所學知識解決實際問題的能力 培養學生運用模擬 分類討論 數形結合思想解決問題的能力 三 情感目標 激發學生學習數學的興趣 提高學生的審美情趣 培養學生勇於探索，敢於創新的...