概率論實驗報告

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學號：日期：2014/6/19

1.（原題5）通過血檢對某地區的個人進行某種疾病普查。有兩套方案：

方案一是逐一檢查；方案二是分組檢查。那麼哪一種方案好？若這種疾病在該地區的發病率為0.

1；0.05；0.01，試分析評價結果。

解：執行方案一：n次；

執行方案二：

假設檢驗結果陰性為「正常」、陽性為「患者」，把受檢者分為k(k>1)個人一組，把這k個人的血混合在一起進行檢驗，如果檢驗結果為陰性，這說明k個人的血液權威陰性，因而這k個人總共只要檢驗一次就夠了；如果結果為陽性，要確定k個人的血液哪些是陽性就需要逐一再檢查，因而這k個人總共需要檢查k+1次。因此方案二在實施時有兩種可能性，要和方案一比較，就要求出它的平均值（即平均檢驗次數）。

假設這一地區患病率（即檢查結果為陽性的概率）為p，那麼檢驗結果為陰性的概率為，這時k個人一組的混合血液是陰性的概率為，是陽性的概率為，則每一組所需的檢驗次數是乙個服從二點分布的乙個隨機變數，即

由此可求得每組所需的平均檢驗次數為

由以上計算結果可以得出：當，即時，方案二就比方案一好，總得檢驗次數為。

（1）當p=0.1時，

k=solve('1/k=0.9^k','k')

k = 1.1259545336647932587496501401706

33.260859594832812820012932381984

k<34，選方案二；

k>33，選方案一；

（2）當p=0.05時

k=solve('1/k=0.95^k','k')

k = 1.0556400393045244722185256897585

87.085203752526530685155804497337

k<88，選方案二；

k>87,選方案一；

（3）當p=0.01時

k=solve('1/k=0.99^k','k')

k = 1.0102046111400452198190136155526

643.44478814551884930377667304388

k<644，選方案二；

k>643,選方案一；

2.（原題8）從2023年起，桌球比賽由每局21分制改為11分制，單打由5局3勝制改為7局4勝制。每位運動員和教練員都切身感受到新賽制的特點：

比賽勝負的偶然性增加了；優秀運動員取勝的把握性減少了；比賽的觀賞性提高了。試就優秀運動員取勝的概率賦不同的值（至少三個值），從理論上驗證這種感受。

解：以十一分制為例，若甲獲勝的概率為p，則乙獲勝的概率為1-p。在每一回合內，看每一分的歸屬，即利用產生隨機數的大小模擬，當有一人得分達到十一分另一人小於十分，或者一人分數超過11分且比另一人高2分則比分高者這局獲勝，先贏得4局勝利的獲得一場比賽的勝利。

將上述過程重複200，即可大概估算出運動員獲勝的概率。

以下為7局4勝制下11分制與21分制的比賽勝率情況：

程式**（11分制）：

e=0;

f=0;

v=11; %設定為11分制

k=0.7; %設定運動員每個球取勝的概率

for p=1:200 %共進行200輪比賽（200次試驗）

m=0;n=0;

for j=1:7

m=0;

n=0;

for i=1:100

a=rand(1);

if a(1)m=m+1;

else

n=n+1;

endif m>=v&m-n>=2

m=m+1;

break

elseif n>=v&n-m>=2

n=n+1;

break

endendif m==4

e=e+1;

break

elseif n==4

f=f+1;

break

endendenddisp('此時運動員取勝的概率')

e/200

經計算：

當勝率為0.55時，11分制取勝概率為0.8850，21分制取勝概率為0.9150。

當勝率為0.6時，11分制取勝概率為0.97，21分制取勝概率為1。

當勝率為0.65時，11分制取勝概率為1，21分制取勝概率為1。

3.(原題9)（1）利用隨機數發生器分別產生個服從正態分佈的隨機數，每種情形下各取組距為2、1、0.5作頻率直方圖;

（2）固定數學期望，分別取標準差，繪製正態分佈密度函式的圖形;

（3）固定標準差，分別取數學期望為，繪製正態分佈密度函式的圖形.

解：(1)

程式**：

n=[100 500 1000隨機數矩陣

d=[2 1 0.5組距矩陣

for j=1:3

y=normrnd(6,1,n(j),1隨機生成數

ymin=min(y取其中的最小值

ymax=max(y取其中的最大值

for k=1:3

d=(ymax-ymin)/d(k根據組距算組數

x=linspace(ymin,ymax,d); %生成x

yy=hist(y,x計算各個區間的個數

yy=yy/length(y計算各個區間的概率

figure;

subplot(1,2,1);

hist(y,d); grid畫出概率密度分布直方圖

xlabel('(a)概率密度分布直方圖');

s=0 ;

for i=2:length(x)

s=[s,sum(yy(1:i求對應的分布函式值

endsubplot(1,2,2);

plot(x,s,x,s,'*','markersize',8,'linewidth',2) ;%畫出累積分布百分比曲線

grid;

xlabel('(b)累積分布百分比曲線');

endend

結果： n=100 d=2

n=100 d=1

n=100 d=0.5

n=500 d=2

n=500 d=1

n=500 d=0.5

n=1000 d=2

n=1000 d=1

n=1000 d=0.5

(2)程式：

clear all; %清除所有資料

x=[-0.5:0.001:0.5]'; %生成乙個矩陣，並將其轉置

y1=;y2定義兩個空矩陣

mul=[0.05 0.05 0.05mnl的值

sigmal=[0.01 0.02 0.03sigmal的值

for i=1:length(mul用乙個迴圈將所有x對應的y算出來

y1=[y1,normpdf(x,mul(i),sigmal(i))];%算對應的概率密度

y2=[y2,normcdf(x,mul(i),sigmal(i))];%算對應的分布函式值

endsubplot(1,2,1將繪圖平面分成兩個

plot(x,y1畫概率密度曲線

xlabel('(a)概率密度函式');

grid;

subplot(1,2,2);

plot(x,y2畫分布函式曲線

xlabel('(b)分布函式');

grid;

結果：(3)程式

clear all; %清除所有資料

x=[-0.1:0.001:0.15]'; %生成乙個矩陣，並將其轉置

y1=;y2定義兩個空矩陣

mul=[0.03 0.05 0.07mul的值

sigmal=[0.02 0.02 0.02sigmal的值

for i=1:length(mul用乙個迴圈將所有x對應的y算出來

y1=[y1,normpdf(x,mul(i),sigmal(i))];%算對應的概率密度

y2=[y2,normcdf(x,mul(i),sigmal(i))];%算對應的分布函式值

endsubplot(1,2,1將繪圖平面分成兩個

plot(x,y1畫概率密度曲線

xlabel('(a)概率密度函式');

grid;

subplot(1,2,2);

plot(x,y2畫分布函式曲線

xlabel('(b)分布函式');

grid;

結果：4.(原題12)作出當時分布的密度函式圖形，並在同一座標系下作出標準正態分佈的密度函式圖象。對比圖形說明當大於多少時用標準正態分佈近似分布誤差比較合理.

解：程式：

x=1:0.0001:4;

figure;

plot(tpdf(x,5),'color','red');

hold on;

plot(tpdf(x,10),'color','yellow');

hold on;

plot(tpdf(x,20),'color','green');

hold on;

plot(tpdf(x,30),'color','blue');

hold on;

plot(tpdf(x,50),'color','black');

hold on;

plot(normpdf(x,0,1),'color','black','linewidth',2)

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