數形結合思想在解題中的應用
一、思想解讀
1． 數形結合思想，就是根據數與形之間的對應關係，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想．數形結合思想的應用包括以下兩個方面：(1)「以形助數」，把某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數學問題的本質；(2)「以數定形」，把直觀圖形數量化，使形更加精確．
2． 數形結合思想的實質、關鍵及運用時應注意的問題：其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化，在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參，合理用參，建立關係，由數思形，以形思數，做好數形轉化；第三是正確確定引數的取值範圍．
3． 實現數形結合，常與以下內容有關：(1)實數與數軸上的點的對應關係；(2)函式與圖象的對應關係；(3)曲線與方程的對應關係；(4)以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如複數、三角函式等；(5)所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示座標平面內以(2,1)為圓心，以2為半徑的圓．
二、典型例題
題型一數形結合思想在解決方程的根的個數、不等式解集的問題中的應用
【例題1】①對於實數a和b，定義運算「*」：a*b＝設f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且關於x的方程f(x)＝m(m∈r)恰有三個互不相等的實數根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值範圍是________．
②設有函式f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]時恒有f(x)≤g(x)，求實數a的取值範圍．
③已知函式f(x)＝，則關於x的方程f[f(x)]＋k＝0，給出下列四個命題：
①存在實數k，使得方程恰有1個實根；
②存在實數k，使得方程恰有2個不相等的實根；
③存在實數k，使得方程恰有3個不相等的實根；
④存在實數k，使得方程恰有4個不相等的實根．
其中正確命題的序號是把所有滿足要求的命題序號都填上)
題型二數形結合思想在求引數、代數式的取值範圍、最值問題中的應用
【例題2】①已知a是實數，函式f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函式y＝f(x)有且僅有兩個零點，則實數a的取值範圍是
②不等式x2－logax<0，在x∈(0，)時恆成立，則a的取值範圍是 ( )
a．01d．0③用min表示a，b，c三個數中的最小值．設f(x)＝min (x≥0)，則f(x)的最大值為( )a．4b．5c．6d．7
④已知函式f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值範圍是( )
a．(－∞，0b．(－∞，1] c．[－2,1d．[－2,0]
⑤求函式的最大值．
⑥已知兩條直線 ：y=m 和： y=(m＞0)，與函式的影象從左至右相交於點a，b ，與函式的影象從左至右相交於c,d .
記線段ac和bd在x軸上的投影長度分別為a ,b ,當m 變化時，的最小值為（ ）abcd.
題型三數形結合思想在幾何中的應用
【例題3】①若曲線與直線沒有公共點，則分別應滿足的條件是________．
②已知圓c1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓c2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，m，n分別是圓c1，c2上的動點，p為x軸上的動點，則|pm|＋|pn|的最小值為 ( )a．5－4 b.
－1 c．6－2 d.
③已知p是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動點，pa、pb是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，a、b是切
點，c是圓心，求四邊形pacb面積的最小值．
題型四數形結合思想在向量中的應用
【例題4】①已知為不共線的向量，設條件；條件對一切，不等式恆成立．則是的________條件．
②已知＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cosα， sinα)，則向量與的夾角的取值範圍為( )a．[0，] bcd．[，π]
③已知單位向量與向量滿足：對每乙個確定的向量，都有與其對應的向量滿足以上條件設分別是的最大值和最小值，令，則對任意的向量，實數的取值範圍是________
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