2023年初二數學競賽試卷
第 2 試
(考試時間：2023年12月18日9∶30—11∶30)
一．選擇題（每小題6分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有乙個是正確的）
1．有兩堆數量相同的棋子．第一堆全為白色，第二堆全為黑色．現在從第一堆中取出若干個白棋子，將其放入第二堆中，充分混合後，從第二堆棋子中隨機取出同樣多的棋子（棋子中可能有黑有白）放到第一堆中，此時兩堆棋子的數量又相同了，則下列說法正確的是（ ）
a．此時第一堆中黑棋子的數量大於第二堆中白棋子的數量
b．此時第一堆中黑棋子的數量等於第二堆中白棋子的數量
c．此時第一堆中黑棋子的數量小於第二堆中白棋子的數量
d．此時第一堆中黑棋子的數量與第二堆中白棋子的數量，兩者大小關係無法確定
2．盒中原有8個小球，一位魔術師從中任意取幾個小球，把每乙個小球都變成了8個小球，將其放回盒中，他又從盒中任取一些小球，把每乙個小球又都變成了8個小球後放回盒中，如此進行到某一時刻魔術師停止取變球時，盒中球的總數可能是（ ）
a．2003個 b．2004個 c．2005個 d．2006個
3．某個游泳池有2個進水口和乙個出水口，每個進水口的進水量與時間的關係如圖1所示，出水口的出水量與時間的關係如圖2所示，某天早上5點到10點，該游泳池的蓄水量與時間的關係如圖3所示．
在下面的論斷中：①5點到6點，開啟進水口，關閉出水口；
②6點到8點，同時關閉兩個進水口和乙個出水口；
③8點到9點，關閉兩個進水口，開啟出水口；
④10點到11點，同時開啟兩個進水口和乙個出水口．
可能正確的是（ ）
a．①③ b．①④ c．②③ d．②④
4．如圖，等腰直角三角形abc中，∠acb=90°，在斜邊ab上取兩點m、n，使∠mcn=45°．設mn=x，bn=n，am=m，則以x、m、n為邊的三角形的形狀為（ ）
a．銳角三角形b．直角三角形
c．鈍角三角形d．隨x、m、n的值而定
5．一根長30厘公尺、寬3厘公尺的長方形紙條，將其按照圖示的過程摺疊．為了美觀，希望摺疊完成後紙條兩端超出點p的長度相等，則最初摺疊時，ma的長應為（ ）．
a．7.5厘公尺 b．9厘公尺 c．10.5厘公尺 d．12厘公尺
二．填空 (每小題6分，共30分)
6．如圖，已知△abc是乙個等邊三角形，它的邊ab長為3，d、e、
f分別是ab、bc、ca的三等分點，則△def的邊長為＿＿＿。
7．魔術師要求乙個遊戲參加者想好乙個三位數，然後調換所想
三位數的數字順序，得到5個數並求出
這 5個數的和n。魔術師聲稱，只要遊戲者告訴他n的大小，他就能知道遊戲參加者所
想的數是多少。如果n=2630，那麼的值可能是
8．某商場為了吸引顧客，設立了乙個可以自由轉動的轉盤（如圖），
並規定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉動轉盤的
機會。如果轉盤停止後，指標正好對準紅、黃或綠色區域（圖
中未標註的都為白色區域），顧客就可以分別獲得100元、50
元、20元的購物券，憑此券可以在該商場繼續購物。如顧客不
願意參加搖獎，可以直接獲贈購物券10元。如果有足夠多次的
機會參加活動，你願意參加搖獎還是直接獲贈購物券，哪種方
式更合算，說明理由
9．已知a＊b＝ab（a＋1），則等式2＊x＝x＊5中的x
10．桌上有五枚硬幣，每次操作，選擇其中4個硬幣並將它們翻轉過來，即如果原來含國徽的一面朝上，將蓋面朝下，原來含國徽的一面朝下，將該面朝上。如果開始的時候，五枚硬幣有國徽的一面都朝上，你能經過若干次操作將這些硬幣都翻轉過來嗎？如能，寫出你的翻轉過程，如不能，說明理由
三．解答題（第11、12題各15分，13題30分，共60分）
11．某租賃公司共有50臺聯合收割機，其中甲型20臺，乙型30臺．現將這50臺聯合收割機派往a、b兩地收割小麥，其中30台派往a地，20台派往b地．兩地區與該租賃公司商定的每天的租賃**如下：
（1）設派往a地x臺乙型聯合收割機，租賃公司這50臺聯合收割機一天獲得的租金為y（元），請用x表示y，並註明x的範圍．
（2）若使租賃公司這50臺聯合收割機一天獲得的租金總額不低於79600元，說明有多少種分派方案，並將各種方案寫出．
12．對於任意線段ab，可以構造以ab為對角線的矩形acbd。連線cd，與ab交於a1點，過a1作bc的垂線段a1c1，垂足為c1；連線c1d，與ab交於a2點，過a2作bc的垂線段a2c2，垂足為c2；連線c2d，與ab交於a3點，過a3作bc的垂線段a3c3，垂足為c3，……，如此下去，可以依次得到點a4，a5，……，an.如果設ab的長為1，則
（1）a1b，a2b，a3b的長依次是多少？你是怎麼得到的，寫出你的過程。
（2）一般地，你能猜想出anb的長（用n的代數式表示）嗎？並說明你猜想的正確性。
13．如圖的格點圖中，每行（列）相鄰兩個格點之間都相距1個長度單位。
（1）如圖，格點c與格點a、b構成的三角形abc的面積是2，還有一些格點與格點a、b構成的三角形面積也是2，請找出所有這樣的格點，並在圖上標示出來。
（2）有些格點與格點a、b可以構成等腰三角形abd，請你找出所有這樣的格點d，並在圖中標出。
（3）問題（2）所得到的等腰三角形中有沒有等邊三角形？如有，將它們標示出來；
如沒有，思考：在下面的8*8格點圖中，是否存在以格點為頂點的等邊三角形，如果存在，請標示出來，如果不存在，說明理由，一般地，對於任意大的格點圖（如100*100個點的格點圖），這個結論是否成立？
（4）問題（2）所得到的等腰三角形中有沒有以ab為腰的等腰直角三角形，有沒有以ab為底的等腰直角三角形？
一般地，在充分大的格點圖中，對於任意給定的兩個格點，是否一定存在以這兩個格點所**段為腰的等腰直角三角形？如果一定有，說明你的構造方法；如果不一定有，思考：對於什麼樣的兩點（即兩點的座標之間滿足什麼條件時）有。
在充分大的格點圖中，對於任意給定的兩個格點，是否一定存在以這兩個格點所**段為底的等腰直角三角形？如果一定有，說明你的構造方法；如果不一定有，思考：對於什麼樣的兩點（即兩點的座標之間滿足什麼條件時）有。
2023年初二數學競賽試卷第2試
參***及評分意見
一、 選擇題（每小題6分，共30分）
1．b 2．a 3．d 4．b 5．c
二、 填空題（每小題6分，共30分）
6． 7．256
8．參加搖獎更合算，因為大量次數搖獎的平均收益為100*5%+50*10%+20*20%=14，大於直接獲得獎券的10元。
9．0或1/5
10．不能。記國徽朝上的狀態為1，朝下為－1，每次操作改變4個數字的符號，5個數字的積不變。因此目標狀態不可能由1變為－1．
注意也可用奇數、偶數知識說明。
三、 解答題（60分）
11．（17分
9分 （2）三種方案，依次為x＝28，29，30的情況 15分
12．（1）a1b a2b= a3b (解答應有過程) 8分
（2）anb10分
說理 (略15分
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