2014—2015學年第二學期
《概率統計與隨機過程》課程大作業
專業班級
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一.背景與問題
生物的外部特徵，如豆科植物莖的顏色，人的**或頭髮的色素，由內部相應的基因決定。基因分優勢基因d 和劣勢基因r 兩種。
每種外部表徵由兩個基因決定，每個基因可以是d, r 中的任乙個。形成3種基因型別：dd ~ 優種d, dr ~ 混種h, rr ~ 劣種r。
基因型別為優種和混種, 外部表徵呈優勢；基因型別為劣種, 外部表徵呈劣勢。生物繁殖時後代隨機地（等概率地）繼承父、母的各乙個基因，形成它的兩個基因。父母的基因型別決定後代基因型別的概率
二.問題分析
生物繁殖時後代隨機地（等概率地）繼承父、母的各乙個基因，形成它的兩個基因。父母的基因型別決定後代基因型別的概率，通過對父母基因型別的分析，可以得到下表：
p(ddh)=p(dddd,dr)=p(ddd)p(ddr) =11/2=1/2
p(rhh)=p(rrdr,dr)=p(rdr)p(rdr) =1/21/2=1/4
下面我們以馬氏鏈為工具討論兩個具體的基因遺傳模型：
三.建立模型
（一） 隨機繁殖
這是自然界種生物群體的一種常見的,也是最簡單的交配方式。
假設：設群體中雄性、雌性的比例相等，基因型別的分布相同（記作d:h:r）
每一雄性個體以d:h:r的概率與一雌性個體交配，其後代隨機地繼承它們的各乙個基因。
設初始一代基因型別比例d:h:r =a:
2b:c （a+2b+c=1), 記p=a+b, q=b+c, 則群體中優勢基因和劣勢基因比例 d:r=p:
q (p+q=1)。
建立：狀態xn=1,2,3 ~ 第n代的乙個體屬於d, h, r
狀態概率 ai(n) ~ 第n代的乙個體屬於狀態i(=1,2,3)的概率。
轉移概率矩陣：
若初始一代是從3種基因型別比例為a:2b:c的群體中隨機選取的，那麼初始狀態概率為
其中a,2b,c滿足p=a+b,q=b+c。
利用馬氏鏈基本方程：
得到顯然這個分布將保持下去。這表明在隨機交配方式中第一代繼承者的基因型別分布永遠保持不變。
由正則鏈的定義和定理可知，這是乙個正則鏈，且其穩態概率為
表明即使初始一代不是從群體中隨機選取，在隨機交配的方式下，經過足夠長的時間，3種基因型別的分布也趨向上述穩定分布。
這個模型得到的結果的正確性已由觀察和實驗證明。如自然界中通常有p=q=1/2,於是3種基因型別的穩定分布為d:h:
r=1/4：1/2：1/4，而優種d和混種h的外部表徵呈優勢。
據觀察，豆科植物莖呈綠色（優勢表徵）的約佔3/4，與上面的結果一致。
（二） 近親繁殖
近親繁殖是指在一對父母的大量後代中, 雄雌隨機配對繁殖，產生後代，如此繼續下去，討論一系列後代的基因型別的演變過程。
與前面的模型不同的是，那裡討論後代群體中基因型別的分布，只需設定d,h,r三個狀態即可。這裡則需要按照隨機選取的雌雄配對，分析後代配對中基因型別的變化。於是狀態應取雌雄6種基因型別組合，設xn=1,2,3，4,5,6依次定義為dd,rr,dh,dr,hh,hr。
狀態轉移概率：
可得概率轉移矩陣：
容易看出，狀態1(dd), 2(rr)是吸收態，馬氏鏈是吸收鏈——不論初始如何，經若干代近親繁殖，將全變為優種或劣種。
為了計算從任乙個非吸收狀態3,4,5,6出發，平均經過多少代就會被吸收狀態1,2吸收，首先將上式表示的p化為轉移矩陣的標準形式，得到
得m的第一行至第四行一次代表非吸收狀態dh,dr,hh和hr，對於向量y的各個分量的解釋，從dh配對的狀態出發，在近親繁殖的情況下平均經過代就會被狀態dd或rr吸收，即全變成優種或劣種。
上述結果的實用價值在於，在農業和畜牧業中常常是純種（優種和劣種)的某些品質不如混種，所以近親繁殖下大約5~6代就需重新選種，以防止品質下降。
參考文獻
[1].姜啟源.數學建模[m].北京：高等教育出版社2009.
馬氏鏈模型
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