數理經濟實驗班
小組成員：徐豔（2012103101）；童於珂（2012103098）；賴偉偉（2012103117）
摘要:生活中，我們經常會見到各種各樣的廣告，但是對商家來說，這些廣告對銷量和利潤究竟有多大作用，如何使用廣告可以使成本最低呢？為了**這些問題，我們以書店的廣告為例，將其抽象成數學模型，利用假設將問題具體化，借助概率模型的思路和方法，為書店老闆確定廣告費和訂購量的最優值，使書店的利潤（在平均意義下）最大。
希望可以以此為例，可以為商家在確定廣告費用和數量時提供一些參考思路和解決方案。
關鍵詞：廣告費用；利潤；概率模型；訂購量的最優值
一、問題重述和分析
書店要訂購一批新書**，它打算印製詳細介紹圖書內容的精美廣告分發給廣大讀者以招攬顧客。讀者對這種圖書的需求量雖然是隨機的，但是與書店投入的廣告費用有關。根據以往的經驗知道，隨著廣告費的增加潛在的購買量會上公升，並且有乙個上限。
所謂潛在的買主是指對那些對於得到這種圖書確實有興趣，但不一定從這家書店購買的人。書店掌握了若干個潛在買主的名單，廣告將首先分發給他們。這個模型要求我們，在對需求量隨廣告費增加而變化的隨機規律作出合理假設的基礎上，根據圖書的購進價和售出價確定廣告費和訂購量的最優值，使書店的利潤（在平均意義下）最大。
建模的關鍵在於分析廣告費，潛在購買量與隨機需求量之間的關係，並作出合理的，簡化的假設。由問題我們可以得到以下資訊：
書店目的：想通過印廣告招攬顧客以增加收入
已知：1. 顧客對圖書需求是隨機的，且與廣告費有關。
2. 廣告費增加時,潛在購買量會上公升,且有上限。
3. 潛在買主指有意買書,但不一定光臨該店的人。
4. 書店有若干潛在買主的名單，廣告將先分發給他們。
若記廣告費為c，潛在購買量為，應是c的增函式（嚴格地說是非降函式），且有乙個上界。為簡單起見不妨設。
記實際的需求量為隨機變數r，其概率密度為。於是對於給定的廣告費c，需求量r在0到之間隨機取值，因為沒有進一步的資訊，所以我們可以簡單地假設在區間內呈均勻分布。
是乙個未知的函式，為了確定函式的形式，不妨首先假設印刷廣告量需要一筆固定的費用，它並不產生潛在購買量；然後，因為廣告將優先分發給那些確定的潛在買主，如果每份廣告的印刷費和郵寄費都是固定的，那麼將隨著c線性地增加；最後，隨著廣告的普遍分發，隨著c的增加而漸趨於某一上界s。示意圖如圖1，其中是的線性增加階段，在此分析的基礎上作下面的假設。
2、問題假設
1. 每本圖書的購進價為a，售出價為b，忽略貯存費用；需求量r是隨機的，其概率密度記為。
2. 廣告費為c，潛在的購買量是c的函式記作；需求量r在內呈均勻分布。
3. 廣告費中固定費用為；每份廣告的印刷和郵寄費用為k，廣告將首先分發給個確定的買主；是c的非降函式，且上界為s。
3、建模與求解
設圖書的購進量為u，建模的目的是確定廣告費用c和購進量u的最優值，使商店的平均利潤（即利潤的期望值）最大。
分三步建立模型：
1. 先在給定的廣告費c下根據假設1,2，確定使平均利潤達到最大的購進量，
2. 利用假設3建構函式的具體形式，
3. 根據前兩步的結果確定廣告費的最優值。
步驟1：
當廣告費c給定時，記進購量為u的平均利潤為
利潤=售書收入-購書支出-廣告支出
利潤1）
（2）利用，（2）式可化為
3）式中是購進的書全部售出時的利潤，是當部分圖書未能售出時的損失。
計算並令其為0，容易求出使達到最大的u的最優值記作，滿足
4）根據r在內呈均勻分布的假設及，有
5）代入（4）式得
6）即購進量的最優值u量等於廣告費c所決定的潛在購買量乘以比例係數，這個係數與進出差價成正比，與銷售價b成反比。
將（5）,（6）代入（3）式，可得最大的平均利潤為
7）2.根據假設3和圖1首先設8）記
9）因為，所
10）是圖1上的直線部分，對於，應有
11）滿足這個關係的最簡單的函式形式之一是，和可以由在處函式和導數的連續性確定。最後將所得結果與（8）（10）兩式合在一起，得到
12）3.將的表示式（12）代入（7）式，並記
13）可得
14）其示意圖如圖2。為了求出使達到最大的廣告費，先設當個潛在買主實際上前來購書時，商店的利潤應為正值，即
代入（14）式，相當於要求
圖215）
即每份廣告的費用k必須充分小，且由（13）式可以看出（15）式右端第一項取決於圖書的進出差價，而第二項是每個潛在買主分擔的固定廣告費用。事實上，（15）式的假設是合理的，因為如果連那些確定的潛在買主來買書時商店都賠本的話，那麼這筆生意就根本不必做了。
這樣，為確定只需對（14）右端的第3式求解極值問題。用微分法不難算到出
16）這就是使商店利潤達到最大的廣告費的最優值。將（16）代入（12）的第3式，可得
17）即在最優值下的潛在購買量是從上界s中減去一部分，這部分與成正比，且隨著廣告費用k（單價）的增加而增加，隨著的（參看13式）增加而減少。
最後，將（17）代入（16）式得到購進量u的最優值為
18）4、模型評注
科達廣告費用明細表
客戶名稱 北嶅陽小學 科達廣告 2012年12月25日 科達廣告費用明細表 客戶名稱 北嶅陽小學 科達廣告 2012年10月23日 科達廣告費用明細表 客戶名稱 北嶅陽小學 科達廣告 2012年10月23日 科達廣告費用明細表 客戶名稱 北嶅陽小學 科達廣告 2012年10月23日 科達廣告費用明細...
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關於心得和廣告費用的看法
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