摘要：本文從經濟經驗上著眼，首先用回歸建立了基本模型，從預期上描述了售價變化與預期銷售量的關係和廣告費變化與銷售量增長因子的關係。其次從基本模型出發，我們構造出預期時間利潤最大模型，得到了利潤在預期的條件下獲得最大利潤116610元時的最佳廣告費用33082元和售價5.
9113元。
一問題的分析與假設
（1）銷售量的變化雖然是離散的，但對於大量的銷售而言，可設銷售量的變化隨售價的增加而線性遞減。
（2）銷售增長因子雖然也是離散的，但當廣告費逐漸增加時，可設銷售增長因子也是連續變化的。
（3）要使預期利潤達到最大，買進的彩漆應為模型理論上的預期最大利潤時的銷售量相等。
二模型的基本假設與符號說明
（一）基本假設
1. 假設彩漆的預期銷售量不受市場影響。
2. 彩漆在預期時間內不變質，並且**在預期內不波動。
（二）符號說明
x：售價（元）；
y：預期銷售量（千桶）；
回歸擬合預期銷售量（千桶）；
：預期銷售量的均值（千桶）；
：售價的平均值（元）；
：x與y的回歸常數；
：x與y的回歸係數；
：x與y的隨機變數；
k ：銷售增長因子；
m ：廣告費（萬元）；
：k與m的非線性回歸係數；
：k與m的非線性回歸係數；
：k與m的非線性回歸常數；
：k與m的隨機變數；
z ：預期利潤（元）。
三模型的建立
（一）售價與預期銷售量的模型。
根據條件（表1）描出散點圖，假設售價與預期銷售量為線性關係，得基本模型
假定9組預期值i=1,2,…,9；符合模型
用ols法得和的最小而乘估計
利用matlab解得售價與預期銷售量的線性回歸方程的模型，並得到線性回歸方程與預期價擬合圖1(電腦程式見附錄1)
=50.422-5.1333x
圖1(二)廣告費與銷售增長因子的模型
根據條件（表2）描出散點圖，假設廣告費與銷售因子為非線性關係，得其基本模型
假定8組預期值;符號模型
利用matlab解得廣告費與銷售因子的非線性回歸方程的模型，並得非線性回歸方程與預期值擬合圖2（電腦程式見附錄2）
圖2（三）預期利潤的最優模型
為了最大預期利潤，建立預期利潤的模型函式；
目標函式
限制條件：
解目標函式max z等價與求min (-z),利用matlab解得min (-z)(電腦程式見附錄3):
;x=5.9113;
m=3.3082;
所以（四）檢驗
1． 由matlab軟體得第乙個模型的決定係數謂為0.9909，誤差較小，因此適用目標函式max z;
2. 由matlab軟體得第二個模型的決定係數為0.9970，誤差也較小，因此也適用目標函式max z.
(五) 建議
雖然在預期上，投入33082元的廣告費和售價5.9113元，可以達到預期銷售量20.0777千桶，可以達到最大的預期利潤，但市場存在一定風險，每一種產品都有其生命週期，即每種產品都會有乙個銷售量從增長到降低的過程。
李經理買進彩漆時，應考慮緩衝庫存，即為了預防未來不確定因素（**和需求得變化）起緩衝作用而保持的額外庫存。確定適當的安全庫存水平涉及到在安全庫存引起的成本增加與不能滿足需求而引起的缺貨成本之間的平衡問題，因此保留一定的庫存可以不致使貨品中斷造成損失，在買進時應在最佳預期銷售量上有一定的增加，以預防市場風險。
四模型誤差分析
文中基礎假設合理，理論採用已有的數學理論，所建模型理論可靠，模型結構簡單，求解後三個模型均採用軟體，故誤差僅由軟體和計算機產生，模型具有較好的穩定性。
五模型優缺點及改進方向
優點：1。誤差小，給出的預計比較準確；
2。適用範圍較廣，模型對於其他預計經濟優化模型也有一定的適應性；
3。最終模型由簡單的模型入手，思路清晰。
缺點：1。未能結合市場經濟的具體因素給出更接近事實的模型；
2。未能考慮庫存，在各個預期週期之間有可能斷貨造成損失，因此不能**在下乙個週期內是否能同樣取的最大利潤。
參考文獻
張國權 2004 數學實驗(第一版), 科學出版社
馬正飛, 殷翔 2002 , 數學計算方法與軟體的工程應用, 化學工業出版社
孫維琦 2004 生產與運作管理, 機械工業出版社
六附錄1.
x=[2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0]
y=[41 38 34 32 29 28 25 22 20]
scatter(x,y,5,'r','filled'),hold on;
be=inline('b(1)+b(2).*x','b','x');
b=[30.6681 -0.1948]
[beta,res,re]=lsqcurvefit(be,b,x,y);
parameters=beta
ss=sum((y-mean(y)).^2);rs=sum(re.^2);r=(ss-rs)/ss
syms b x;b=beta
y=subs(b(1)+b(2).*x);
ezplot(y,[2.0,12])
title('售價與預期銷量的擬合圖'),xlabel('售價(元)'),ylabel('預期銷售量(千桶)')
2.m=[0 1 2 3 4 5 6 7]
k=[1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80]
scatter(m,k,5,'r','filled'),hold on;
ae=inline('b(1).*m.^2+b(2).*m+b(3)','b','m');
b=[-0.05 5 0.75]
[beta,res,re]=lsqcurvefit(ae,b,m,k);
parameters=beta
ss=sum((k-mean(k)).^2);rs=sum(re.^2);r=(ss-rs)/ss
syms b m;b=beta
k=subs(b(1).*m.^2+b(2).*m+b(3));
ezplot(k,[0 7])
title('廣告費與銷售增長因子的擬合曲線'),xlabel('廣告費(萬元)'),ylabel('銷售增長因子')
3.>> f='10^4*x(2)-(x(1)-2)*(50.4222-5.
1333*x(1))*10^3*(-0.0426*x(2).^2+0.
4092*x(2)+1.0187)'
f =10^4*x(2)-(x(1)-2)*(50.4222-5.1333*x(1))*10^3*(-0.
0426*x(2).^2+0.4092*x(2)+1.
0187)
>> x=fminsearch(f,[4.5 3.5]),f=eval(f)
x = 5.9113 3.3082
f = -1.1661e+005
>>
數學建模競賽樣題
a題購房貸款問題 李四夫婦計畫貸款30萬元購買一套房子，他們打算用20年的時間還清貸款。目前，銀行的貸款利率是0.6 月。他們採用等額本息還款的方式 即每月的還款額相同 償還貸款。1.在上述條件下，李四夫婦每月的還款額是多少？共計需要付多少利息？2.在貸款10年零7個月後，他們認為他們有經濟能力還完...
2019數學建模A題模型建立
2011高教社杯全國大學生數學建模競賽題目 請先閱讀 全國大學生數學建模競賽 格式規範 a題城市表層土壤重金屬汙染分析 隨著城市經濟的快速發展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環境質量的影響日顯突出。對城市土壤地質環境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量資料資料開展城市環境質量評價，研究人類活動...
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問題a如果以非線性器件的輸入u t 與輸出y t 的關係是y t u t u2 t 其中t 是時間 那麼當輸入是包含頻率f1 f2 的訊號u t cos2pif1 t cos2pif2 t時,輸出y t 中不僅包含輸入新好f1 f2 而且還會出現2 f1 f1 f2 等新的頻率成分,這些新的頻率稱為...