2011高教社杯全國大學生數學建模競賽c題評閱要點
[說明]本要點僅供參考，各賽區評閱組應根據對題目的理解及學生的解答，自主地進行評閱。
命題思路：企業退休職工養老金制度改革及退休推遲問題是乙個熱點課題。由於國情的複雜和資料的缺乏，對全國甚至乙個地區的社會統籌**進行總體規模的**都是困難的，所以本題僅限於在現有制度下，對職工個人的**和個人賬戶收支情況進行精算。
本題的數學模型並不複雜，關鍵是學生正確理解養老金收支計算辦法和題目的要求。
1 必要的假設
如下一些假設是基本的：1）假設我國在今後乙個較長時間段內社會政治經濟形勢穩定，工資不會出現異常動盪。2）假設男女同工同酬。
3）假設現有繳費及發放制度在乙個充分長的時間段內不發生變化。4）假設附件2 中反映的該企業不同年齡的職工工資與企業平均工資的比例可以用來計算乙個普通職工的養老保險繳費指數。5）假設只有個人賬戶中的儲存額產生利息，而社會統籌**賬戶中的儲存額不產生利息。
6）假設附件1中的社會平均工資為繳費工資。7）為便於計算，可以假設第i歲參加工作、退休、死亡均是指在剛滿i周歲時，繳費年數為整數。
2問題一
雖然我國當前正處於經濟快速發展期，但考慮到我國發展的戰略目標是在二十一世紀中期達到中等發達國家的經濟發展水平，而發達國家的工資增長率多比較低，所以應當假設我國未來的工資增長率會逐步降低。只要符合這一假設的**方法，都可以認為是恰當的。如logistic模型以及其它阻滯型增長模型均可用，用這些方法得到的工資上限大約在2023年工資水平的3-4倍左右。
但若假設工資以固定比例增長或線性增長、以及用線性或多項式擬合都是不恰當的，用灰色**或指數**也不恰當。
3 問題二
根據附件2，用加權平均方法容易求得該企業不同年齡段的職工工資與企業平均工資的比值，結果如下：
表1：該企業不同年齡段職工平均工資與企業平均工資的比值：
本題的本意是將此資料作為乙個一般意義上的企業職工在不同年齡段時的繳費指數。如果學生在計算養老金支出時沒有利用該資料，只考慮了一些特殊情況，如繳費指數取固定值，是不合題意的。對於60-64歲的職工的繳費指數，可以基於一些簡單合理的假設進行**。
在計算社會統籌**賬戶和個人賬戶金額時，按年或按月繳存的兩種計算方式都是可以的。
到退休時職工個人賬戶中的金額的計算模型如下：
∑k退休前第k年繳費額本息=∑k退休前第k年繳費工資×繳費率×,
其中r為銀行利息。學生中可能會出現忘記計算個人賬戶利息或利息計算錯誤的情況。
因為社會統籌**賬戶中的儲存額不計利息，所以其中金額的計算模型如下：
∑k退休前第k年繳費額=∑k退休前第k年繳費工資×繳費率.
退休後第乙個月領取的養老金=基礎養老金+個人賬戶養老金，其中
基礎養老金=（退休前一年社會平均工資+本人指數化月平均繳費工資）/2×繳費年限×1%；
個人賬戶養老金=個人賬戶儲存額÷計發月數。
其中，本人指數化月平均繳費工資=
則該職工退休時實際替換率=退休後第乙個月領取的養老金/退休前乙個月該職工的月工資。
4 問題三
由於在領取養老金的過程中，個人賬戶中的錢仍然在計算利息，所以比較準確而且簡單的計算方法是利用「現值」理論，即把整個過程中領取的錢數都轉化為剛退休時的現值。因為社會統籌**賬戶中的資金不計利息，所以其支出額不必考慮現值。
假設退休金會隨著社會平均工資的增長而同步增長。設為退休後第i年工資增長率，前面已求得剛退休時第乙個月的基礎養老金為，則第i年領取的基礎養老金為，則該職工到去世時領取的基礎養老金總和為，其中d為死亡年齡，為退休年齡。
同理，第i年領取的個人賬戶養老金為，另設退休後銀行一年期銀行利率為r，則其在剛退休時的現值為，則該職工到去世時個人賬戶養老金總和在剛退休時的現值分別為
.如果學生沒有考慮到「現值」方法和養老金隨社會平均工資同步增長等因素，應當酌情扣分。
5 問題四
這裡可以考慮的措施有如下幾條：
1、推遲退休年齡；2、盡早開始繳納養老保險；3、提高個人賬戶繳費率；4、提高社會統籌**賬戶繳費率。
其中前兩條對於達到目標替代率和維持養老保險**收支平衡均有顯著的促進作用。「提高個人賬戶繳費率」可以提高目標替代率，但計發月數不變時，對**平衡沒有幫助，而且會減少職工工資收入。「提高社會統籌**繳費率」對維持**平衡有幫助，但對目標替代率沒有幫助，而且會增大企業負擔。
學生可以根據自己的假設給出建議，應當有一定的計算結果來支援其建議。
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