2023年全國大學生數學建模競賽A題

2009高教社杯全國大學生數學建模競賽題目

（請先閱讀「全國大學生數學建模競賽**格式規範」）

a題制動器試驗台的控制方法分析

汽車的行車制動器（以下簡稱制動器）聯接在車輪上，它的作用是在行駛時使車輛減速或者停止。制動器的設計是車輛設計中最重要的環節之一，直接影響著人身和車輛的安全。為了檢驗設計的優劣，必須進行相應的測試。

在道路上測試實際車輛制動器的過程稱為路試，其方法為：車輛在指定路面上加速到指定的速度；斷開發動機的輸出，讓車輛依慣性繼續運動；以恆定的力踏下制動踏板，使車輛完全停止下來或車速降到某數值以下；在這一過程中，檢測制動減速度等指標。假設路試時輪胎與地面的摩擦力為無窮大，因此輪胎與地面無滑動。

為了檢測制動器的綜合性能，需要在各種不同情況下進行大量路試。但是，車輛設計階段無法路試，只能在專門的制動器試驗台上對所設計的路試進行模擬試驗。模擬試驗的原則是試驗台上制動器的制動過程與路試車輛上制動器的制動過程盡可能一致。

通常試驗台僅安裝、試驗單輪制動器，而不是同時試驗全車所有車輪的制動器。制動器試驗台一般由安裝了飛輪組的主軸、驅動主軸旋轉的電動機、底座、施加制動的輔助裝置以及測量和控制系統等組成。被試驗的制動器安裝在主軸的一端，當制動器工作時會使主軸減速。

試驗台工作時，電動機拖動主軸和飛輪旋轉，達到與設定的車速相當的轉速(模擬實驗中，可認為主軸的角速度與車輪的角速度始終一致)後電動機斷電同時施加制動，當滿足設定的結束條件時就稱為完成一次制動。

路試車輛的指定車輪在制動時承受載荷。將這個載荷在車輛平動時具有的能量（忽略車輪自身轉動具有的能量）等效地轉化為試驗台上飛輪和主軸等機構轉動時具有的能量，與此能量相應的轉動慣量(以下轉動慣量簡稱為慣量)在本題中稱為等效的轉動慣量。試驗台上的主軸等不可拆卸機構的慣量稱為基礎慣量。

飛輪組由若干個飛輪組成，使用時根據需要選擇幾個飛輪固定到主軸上，這些飛輪的慣量之和再加上基礎慣量稱為機械慣量。例如，假設有4個飛輪，其單個慣量分別是：10、20、40、80 kg·m2，基礎慣量為10 kg·m2，則可以組成10，20，30，…，160 kg·m2的16種數值的機械慣量。

但對於等效的轉動慣量為45.7 kg·m2的情況，就不能精確地用機械慣量模擬試驗。這個問題的一種解決方法是：

把機械慣量設定為40 kg·m2，然後在制動過程中，讓電動機在一定規律的電流控制下參與工作，補償由於機械慣量不足而缺少的能量，從而滿足模擬試驗的原則。

一般假設試驗台採用的電動機的驅動電流與其產生的扭矩成正比（本題中比例係數取為1.5 a/n·m）；且試驗台工作時主軸的瞬時轉速與瞬時扭矩是可觀測的離散量。

由於制動器效能的複雜性，電動機驅動電流與時間之間的精確關係是很難得到的。工程實際中常用的計算機控制方法是：把整個制動時間離散化為許多小的時間段，比如10 ms為一段，然後根據前面時間段觀測到的瞬時轉速與/或瞬時扭矩，設計出本時段驅動電流的值，這個過程逐次進行，直至完成制動。

評價控制方法優劣的乙個重要數量指標是能量誤差的大小，本題中的能量誤差是指所設計的路試時的制動器與相對應的實驗台上制動器在制動過程中消耗的能量之差。通常不考慮觀測誤差、隨機誤差和連續問題離散化所產生的誤差。

現在要求你們解答以下問題：

1. 設車輛單個前輪的滾動半徑為0.286 m，制動時承受的載荷為6230 n，求等效的轉動慣量。

2. 飛輪組由3個外直徑1 m、內直徑0.2 m的環形鋼製飛輪組成，厚度分別為0.

0392 m、0.0784 m、0.1568 m，鋼材密度為7810 kg/m3，基礎慣量為10 kg·m2，問可以組成哪些機械慣量？

設電動機能補償的能量相應的慣量的範圍為 [-30, 30] kg·m2，對於問題1中得到的等效的轉動慣量，需要用電動機補償多大的慣量？

3. 建立電動機驅動電流依賴於可觀測量的數學模型。

在問題1和問題2的條件下，假設制動減速度為常數，初始速度為50 km/h，制動5.0秒後車速為零，計算驅動電流。

4. 對於與所設計的路試等效的轉動慣量為48 kg·m2，機械慣量為35 kg·m2，主軸初轉速為514轉/分鐘，末轉速為257轉/分鐘，時間步長為10 ms的情況，用某種控制方法試驗得到的資料見附表。請對該方法執行的結果進行評價。

5. 按照第3問匯出的數學模型，給出根據前乙個時間段觀測到的瞬時轉速與/或瞬時扭矩，設計本時間段電流值的計算機控制方法，並對該方法進行評價。

6. 第5問給出的控制方法是否有不足之處？如果有，請重新設計乙個盡量完善的計算機控制方法，並作評價。