2023年全國大學生數學建模賽題

2003高教社杯全國大學生數學建模競賽題目

（請先閱讀「對**格式的統一要求」）

d題搶渡長江

「渡江」是武漢城市的一張名片。2023年9月9日，武漢警備旅官兵與體育界人士聯手，在武漢第一次舉辦橫渡長江游泳競賽活動，起點為武昌漢陽門碼頭，終點設在漢口三北碼頭，全程約5000公尺。有44人參加橫渡，40人達到終點，張學良將軍特意向冠軍獲得者贈送了一塊銀盾，上書「力挽狂瀾」。

2023年，「武漢搶渡長江挑戰賽」重現江城。2023年，正式命名為「武漢國際搶渡長江挑戰賽」，於每年的5月1日進行。由於水情、水性的不可**性，這種競賽更富有挑戰性和觀賞性。

2023年5月1日，搶渡的起點設在武昌漢陽門碼頭，終點設在漢陽南岸咀，江面寬約1160公尺。據報載，當日的平均水溫16.8℃, 江水的平均流速為1.

89公尺/秒。參賽的國內外選手共186人（其中專業人員將近一半），僅34人到達終點，第一名的成績為14分8秒。除了氣象條件外，大部分選手由於路線選擇錯誤，被滾滾的江水衝到下游，而未能準確到達終點。

假設在競渡區域兩岸為平行直線, 它們之間的垂直距離為 1160 公尺, 從武昌漢陽門的正對岸到漢陽南岸咀的距離為 1000公尺，見示意圖。

請你們通過數學建模來分析上述情況, 並回答以下問題:

1. 假定在競渡過程中游泳者的速度大小和方向不變，且競渡區域每點的流速均為 1.89 公尺/秒。

試說明2023年第一名是沿著怎樣的路線前進的，求她游泳速度的大小和方向。如何根據游泳者自己的速度選擇游泳方向，試為乙個速度能保持在1.5公尺/秒的人選擇游泳方向，並估計他的成績。

2. 在（1）的假設下，如果游泳者始終以和岸邊垂直的方向遊, 他(她)們能否到達終點？根據你們的數學模型說明為什麼 2023年和2023年能游到終點的人數的百分比有如此大的差別；給出能夠成功到達終點的選手的條件。

3. 若流速沿離岸邊距離的分布為 (設從武昌漢陽門垂直向上為 y軸正向) ：

游泳者的速度大小（1.5公尺/秒）仍全程保持不變，試為他選擇游泳方向和路線，估計他的成績。

4. 若流速沿離岸邊距離為連續分布, 例如

或你們認為合適的連續分布，如何處理這個問題。

5. 用普通人能懂的語言，給有意參加競渡的遊愛好者寫乙份競渡策略的短文。

6. 你們的模型還可能有什麼其他的應用？

搶渡長江路線圖搶渡長江競賽現場