2010高教社杯全國大學生數學建模競賽
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戚立峰毛威馬斌
（北京大學數學系,100871）
指導教師樊啟洪
摘要本文利用層次分析法建立了乙個為足球排名次的數學模型．它首先用來排名次的資料是否充分做出判斷,在能夠排名次時對資料的可依賴程度做出估計,然後給出名次．文中證明了這個名次正是比賽成績所體現的各隊實力的順序．
文中將看到此模型充分考慮了排名結果對各場比賽的重要性的反饋影響,基本上消除了由於比賽對手的強弱不同造成的不公平現象．文中還證明了模型的穩定性,這保證了各隊在發揮水平上的小的波動不會對排名順序造成大的變動．本模型比較完滿地解決了足球隊排名次問題,而且經過簡單修改,它可以適用於任何一種對抗型比賽的排名．
本題的表1給出的是我國12支足球隊在1988-2023年全國甲級聯賽中的成績,要求通過建立數學模型,對各隊進行排名次．
按照通常的理解,排名的目的是根據比賽成績排出反映各隊真實實力狀況的乙個順序．為達到這一點,乙個好的排名演算法應滿足下面一些基本要求：
（1）保序性；（2）穩定性；（3）能夠處理不同場比賽的權重；（4）能夠判斷成績表的可約性；（5）能夠準確地進行補殘；（6）容忍不一致現象；（7）對資料可依賴程度給出較為精確的描述．
可以想象,各隊的真實實力水平在成績表中反映出來（見§3假定ⅱ）,所以根據排名目的,我們要求排名順序與成績表反映的各隊實力水平的順序是一致的,這就是要求（1）．
也就是說,如果a比b表現出色,a的名次就應排在b前面．但a比b出色不能只是由a對b這一場比賽所決定,必須參考a,b相對於其他隊的成績,像a平c,c勝d,d平b這組比賽對a,b的相對表現是有影響的．為使乙個演算法滿足保序性,就必須充分考慮到將a,b鏈結起來的所有場比賽．下面的例子表明積分法布滿足保序性．
例1 a平c,c勝d,d平b,a平b．
在上述比賽中a表現應比b出色,但按積分法計算a,b都積2分．其原因就在於積分法沒有把a平c,c勝d,d平b這組比賽中所體現的a,b實力對比情況考慮進去；
要求（2）就是說成績表小的變動不會對排名結果造成巨大影響．這是由於球隊發揮水平存在正常波動而必須提供的,如果這種正常的小波動引起名次的巨大變化,那麼排名就不令人信服；
要求（3）使得不同場比賽在排名中的地位不同,這是因為在實際比賽中,往往會有的隊不幸遇到較強的隊而輸掉．為了避免由於對手的強弱不同造成的不公平,要求（3）是必須的．但現在的排名制度大都滿足不了要求（3）,以至於許多時候「運氣」對名次起了重要作用；
要求（4）—（7）是為了適應實際比賽中可能會出現在一些複雜情況而提出的．
首先是可能某兩個隊之間沒有打比賽,我們稱之為資料（成績）殘缺．對於兩隊成績殘缺,只能通過它們同其他隊的比賽成績來判斷它們的實力比較．如果殘缺元素過多,就有可能導致參賽隊分成兩組,組與組之間沒有比賽,稱這種情況為成績表可約,這時顯然是不應該排名次的．這樣就有要求（4）,（5）；
其次是前後比賽成績矛盾,比如說a勝b,b勝c,c平a,稱這種情況為資料不一致．如果不一致的情況過於嚴重,說明比賽偶然因素太大,資料的可依賴程度太低,應該考慮放棄比賽成績．所以排名演算法還應滿足（6）,（7）．
本文使用的層次分析法的特徵根方法已滿足了上述要求,下面將在§2中給出具體演算法．§3中給出算發滿足上述要求的解釋和論證．
一、基本假設和名詞約定
假設ⅰ 參賽各隊存在客觀的真實實力（見名詞約定1）．這是任何一種排名演算法的基礎．
假設ⅱ 在每場比賽中體現出來的強隊對弱隊的表面實力對比是以它們的真實實力對比為中心的互相對立的正態分佈．（見名詞約定2）
這條假設保證了我們可以以比賽成績為依據對球隊的真實實力進行排名,另外它在很大程度上反映了球隊水平發揮的不穩定性．
名詞約定
1 ．稱=()為真實實力向量,如果的大小表現了的實力強弱．當的大小表現了在比賽中出色程度時,稱為排名向量．由假設ⅱ,兩者應是近似相同的,以後就把它們當成同乙個．
2 ．稱對這場比賽中體現出來的對的相對強弱程度為對的表面實力對比,一般記作,當對成績殘缺是約定＝０．顯然地有
2.1）
矩陣ａ＝就稱為比賽成績的判斷矩陣,它是可以通過各種方法（見§５）從比賽成績中求出來的．
由假設ⅱ,若對成績不殘缺且時有
2.2）
這裡是真實實力向量．
3 ．稱方陣為正互反對稱的,若（1）>0,（2）,．顯然乙個無殘缺的比賽成績的判斷矩陣是正互反對稱的．
4 ．稱矩陣是可約的,若a能用行列同時調換化,這裡,都是方陣,在[1]的227頁證明了乙個判斷矩陣可約當且僅當成績表可約．
5 ．稱判斷矩陣a是一致的,若對任意滿足．顯然地,a一致則存在,使得
2.3）
6 ．稱矩陣a的最大正特徵根為主特徵根；對應於的右特徵向量稱為主特徵向量,若且》0．
由非負矩陣的perron-frobenius定理,乙個判斷矩陣a的存在唯一且可以讓對應於的特徵向量的每個分量都大於零,令即得主特徵向量．
二、模型設計與演算法
我們的模型的主要部分是乙個演算法,模型的輸入是一張成績表,輸出是關於是否可約的判斷、資料可依賴程度值和排名次的結果．
演算法 （一）根據比賽成績表構造判斷矩陣a．
i從1到n,j從1到n的迴圈．
1）若與互勝場次相等,則
淨勝球=0時令；跳出作下一步迴圈；
淨勝球多時以淨勝一場作後續處理．
2）若淨勝k場且k>0,則
勝平均每場淨勝球數；
．3）若與無比賽成績,則．
（二）檢測a的可約性,如果可約則輸出可約資訊後退出．
（三）構造輔助矩陣
i從1到n,j從1到n迴圈
（四）計算的主特徵根和住特徵向量．
1）允許誤差,任取初始正向量,令k=0,計算；．
2）迭代計算；；
；；直到．3）．
（五）按各分量由大到小的順序對參賽各隊排名次．
（六）計算
；；其中為a的第i行0的個數．
根據2h查表得到可依賴程度．
關於演算法的幾點說明
演算法的第(一)步可以有多種不同的方法,這在§5還將討論．
第(二)步實際上是把a看作有向圖的鄰接矩陣表示求圖是否連通．演算法是標準的,可參閱任何一本有關於演算法的書,這裡省略．它在可約時作的退出處理保證了以後各步處理的是乙個不可約陣．
第(三)步使用的是冪法,其整個演算法收斂性和正確性的證明可參閱[1]的103頁．
第(四)步是乙個排序,可參閱任何一本有關演算法的書．
第(五)步我們舉了乙個例子,若算出2h=47.56,r=48,則在表的自由度為48一行找到47.56,它所在的列的值為65%左右．
一、排名的合理性和保序性要求
關於為什麼無殘缺的判斷矩陣a的主特徵向量就是排名向量是層次分析法中特徵根發的基礎,可以在[1]的211頁找到詳細證明,這裡只作簡單說明．先假定比賽無殘缺,此時演算法中=．
先看一下為一致矩陣時,有（2.3）式存使得,顯然向量就是排名向量．
而我們有
即3.1）
在[1]的109頁證明了下述定理：
定理 n階互反矩陣是一致的,當且僅當．
再由（3.1）可見還是a的主特徵向量,這樣,對於乙個一致矩陣a,求排名向量就是求a的主特徵向量．
對於乙個不一致的判斷矩陣a（注意：無殘缺）,令
3.2）
3.3）
由於是a的第i列元素（即與其他隊的表面實力對比）的和被||a||除,可以猜測它給出了的排序權重．
但正如問題分析中所提到的,與的實力對比必須考慮到將與鏈結起來的所有場比賽,反應到判斷矩陣a上就是所有都要考慮進去．
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