數學實驗
電腦科學與技術
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葡萄酒的評價
摘要本文主要研究的是如何對葡萄酒進行評價的問題。通過對評酒員的評分與釀酒葡萄的理化指標和葡萄酒的理化指標等原始資料進行統計、分析和處理，我們得出了乙個較為合理地評價葡萄酒質量優劣的模型。
在問題一中，我們採用t檢驗法，首先進行正態分佈擬合檢驗，判斷出它們服從正態分佈。之後，我們通過t檢驗法判斷出了兩組評酒員的評價結果具有顯著性差異。而對於如何判斷哪一組評酒員的評價結果更可信，由於評酒員評分的客觀性，我們通過計算評酒員評分均值的置信區間，利用置信區間的長短來判斷評分的可信程度。
置信區間越窄，說明其越可信。利用matlab軟體求出了第二組評酒員的評分均值的置信區間更窄，所以第二組評酒員的評價結果更可信。
在問題二中，我們採用主成分分析法，把給定的一組相關變數通過線性變換轉成另一組不相關的變數，這些新的變數再按照方差依次遞減的順序排列。在數學變換中保持變數的總方差不變，使第一變數具有最大的方差。第二變數的方差次大，並且和第一變數不相關。
由於變數較多，雖然每個變數都提供了一定的資訊，但其重要性有所不同。依次類推，最後我們將釀酒葡萄分為了四個等級:優質、次優、中等、下等。
在問題三中，我們通過多項式曲線擬合的方法，構造乙個以葡萄酒的理化指標為自變數，釀酒葡萄的理化指標為因變數的函式，並利用matlab軟體進行曲線擬合，最後得出釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的關係為呈線性正相關。
在問題四中，我們用無互動作用的雙因素試驗的方差分析方法，通過對觀測、比較、分析實驗資料的結果,鑑別出了兩個因素在水平發生變化時對實驗結果產生顯著性影響的大小程度。最後，我們認為能用釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標來評價葡萄酒的質量，且釀酒葡萄的理化指針對葡萄酒質量影響相對葡萄酒的理化指標更顯著。
關鍵詞：t檢驗法，matlab，正態分佈，主成分分析法，多項式曲線擬合，方差分析
一． 問題的重述
確定葡萄酒質量時一般是通過聘請一批有資質的評酒員進行品評。每個評酒員在對葡萄酒進行品嚐後對其分類指標打分，然後求和得到其總分，從而確定葡萄酒的質量。釀酒葡萄的好壞與所釀葡萄酒的質量有直接的關係，葡萄酒和釀酒葡萄檢測的理化指標會在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的質量。
附件1給出了某一年份一些葡萄酒的評價結果，附件2和附件3分別給出了該年份這些葡萄酒的和釀酒葡萄的成分資料。請嘗試建立數學模型討論下列問題：
1. 分析附件1中兩組評酒員的評價結果有無顯著性差異，哪一組結果更可信？
2. 根據釀酒葡萄的理化指標和葡萄酒的質量對這些釀酒葡萄進行分級。
3. 分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的聯絡。
4．分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指針對葡萄酒質量的影響，並論證能否用葡萄和葡萄酒的理化指標來評價葡萄酒的質量？
附件1：葡萄酒品嚐評分表（含4個**）
附件2：葡萄和葡萄酒的理化指標（含2個**）
附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物質（含4個**）
二基本假設與符號說明
2.1 基本假設
（1）評酒員的評分是客觀公正的，不受任何外界因素影響。
（2）用來檢驗的葡萄都是剛採摘的新鮮葡萄，葡萄酒也沒有遭受任何汙染。
（3）在檢測釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標的過程中，忽略由於人為操作不當帶來的誤差。
（4）由於不是每組資料都對葡萄酒的質量產生很大影響，所以在處理資料過程中，忽略那些影響不是很明顯的理化指標。
2.2 符號說明
第組評酒員對各品種紅葡萄酒的評分均值的期望
第組評酒員對各品種紅葡萄酒的評分均值的方差
問題一的假設
第個主成分
第個評酒員對第種酒的評分
三． 問題的分析
針對問題一，如何判斷兩組評酒員的評價結果有無顯著性差異，我們採用t檢驗法進行判斷。但採用t檢驗法的前提是其必須服從正態分佈，方差未知且相等。所以我們先對那些資料進行正態分佈檢驗，判斷其是否服從正態分佈。
驗證服從正態分佈後，我們利用t檢驗法判斷兩組評酒員評價結果的顯著性差異。對於如何判斷哪一組評酒員的評價結果更可信，由於評酒員評分的客觀性，我們通過計算評酒員評分均值的置信區間，利用置信區間的長短來判斷評分的可信程度。置信區間越窄，說明其越可信。
針對問題二中如何根據釀酒葡萄的理化指標和葡萄酒的質量對釀酒葡萄進行分級，我們採用主成分分析法。因為在實際問題的研究中，往往會涉及眾多有關的變數。但是，變數太多不但會增加計算的複雜性，而且也會給合理地分析問題和解釋問題帶來困難。
一般說來，雖然每個變數都提供了一定的資訊，但其重要性有所不同，而在很多情況下，變數間有一定的相關性，從而使得這些變數所提供的資訊在一定程度上有所重疊。因而人們希望對這些變數加以「改造」，用為數極少的互補相關的新變數來反映原變數所提供的絕大部分資訊，通過對新變數的分析達到解決問題的目的。解決這個問題的過程中，我們用matlab軟體實現主成分分析，我們對那些理化指標進行重新整理，求出各個理化指標的之間的相關係數、特徵值及特徵向量和貢獻率等。
針對問題三中如何分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的聯絡，我們想到了用多項式曲線擬合的方法，根據兩者理化指標實測樣本，用統計分析的方法，找出一種適當的函式關係從而達到處理釀酒葡萄與葡萄酒之間相關關係的目的。實際的操作過程中，我們首先構造乙個關於釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標的函式，以葡萄酒的理化指標為自變數，釀酒葡萄的理化指標為因變數，利用matlab軟體進行曲線擬合，得出釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的關係。
針對問題四中如何分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指針對葡萄酒質量的影響，以及能否用釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標來評價葡萄酒的質量，我們採用無互動作用的雙因素試驗的方差分析方法。用方差分析，可以將影響葡萄酒的主要因素和次要因素區分開來，還可以分別算出釀酒葡萄的理化指標和葡萄酒的理化指標與葡萄酒質量之間的誤差，如果誤差在可接受範圍之內，即說明可以用釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標來評價葡萄酒質量。
四． 模型的建立與求解
t檢驗是用t分布理論來推論差異發生的概率，從而比較兩個均值的差異是否顯著。
由於檢驗紅葡萄酒與白葡萄酒的方法和模型一樣，這裡我們只給出檢驗紅葡萄酒的模型。
由於使用t檢驗法的前提是兩個總體分布都服從正態分佈，我們先利用excel軟體
計算出：
第一組評酒員對各品種紅葡萄酒的評分均值為：
62.7,80.3,80.
4,68.6,73.3,73.
2,71.5,72.3,81.
5,74.2,70.1,53.
9,74.6,73,58.7,
74.9,79.3,59.9,78.6,78.6,77.1,77.2,85.6,78,69.2,73.8,73
第二組評酒員對各品種紅葡萄酒的評分均值為：
68.1,74,74.6,71.
2,72.1,66.3,65.
3,66,78.2,68.8,61.
6,68.3,68.8,72.
6,65.7,69.9,74.
5,65.4,72.6,75.
8,72.2,71.6,77.
1,71.5,68.2,72, 71.
5然後我們利用matlab軟體裡的正態分佈擬合函式進行曲線擬合，得出其正態分佈的擬合曲線圖為圖一：
圖一、正態分佈擬合曲線圖
從圖中我們知道其曲線近似為一條直線，因此我們認為評酒員對紅葡萄酒以及白葡萄酒的評分均值都服從正態分佈。
設，分別為第一組、第二組評酒員對各品種紅葡萄酒的評分均值，且
，，其中均未知。
（1） 作出統計假設。
（2） 選取統計量
（3） 對於給定的顯著性水平，我們利用matlab軟體進行計算求解。結果如下表所示：
h=0，表示接受原假設；h=1，表示接受背擇假設。
由上表可知:紅葡萄酒之間不存在顯著性差異，白葡萄酒之間存在顯著性差異。
由於樣本的置信區間與其可信度是呈負相關的，即置信區間越小，其可信度越大。我們利用matlab軟體求解得出第一組、第二組紅葡萄酒和白葡萄酒的置信區間，見下表：
葡萄酒的置信區間
顯然第二組的置信區間長度小於第一組，所以第二組評酒員的評價結果可信度更高。
主成分分析法是一種數學變換的方法, 它把給定的一組相關變數通過線性變換轉成另一組不相關的變數，這些新的變數按照方差依次遞減的順序排列。在數學變換中保持變數的總方差不變，使第一變數具有最大的方差，稱為第一主成分，第二變數的方差次大，並且和第一變數不相關，稱為第二主成分。依次類推，i個變數就有i個主成分。
1）在（1）式中，為原變數的與之間的相關係數，其計算公式為
2）因為r是實對稱矩陣（即），所以只需計算上三角元素或下三角元素即可。
首先解特徵方程，通常用雅可比法求出特徵值，並使其按大小順序排列，即。然後分別求出對應於特徵值的特徵向量。這裡要求=1，即，其中表示向量的第個分量。
貢獻率：第個主成分方差在全部方差中所佔的比重稱為貢獻率。這個值越大，表明第個主成分綜合資訊的能力越強。
主成分的貢獻率為
3）累積貢獻率：前個主成分共有多大的綜合能力，用這個主成分的方差和在全部方差中所佔的比重來描述，表明取前個主成分基本包含了全部測量指標所具有資訊的
百分率。
累計貢獻率為
4）一般取累計貢獻率達的特徵值所對應的第
一、第二，…，第個主成分。
主成分載荷是反映主成分與元變數之間的相互關聯程度。
其計算公式為5）
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