第三章不等式
一、選擇題
1．已知x≥，則f(x)＝有( )．
a．最大值b．最小值c．最大值1d．最小值1
2．若x＞0，y＞0，則＋的最小值是( )．
a．3bc．4d．
3．設a＞0，b＞0 則下列不等式中不成立的是( )．
a．a＋b＋≥2b．(a＋b)(＋)≥4
c．≥a＋bd．≥
4．已知奇函式f(x)在(0，＋∞)上是增函式，且f(1)＝0，則不等式＜0的解集為( )．
a．(－1，0)∪(1b．(－∞，－1)∪(0，1)
c．(－∞，－1)∪(1d．(－1，0)∪(0，1)
5．當0＜x＜時，函式f(x)＝的最小值為( )．
a．2bc．4d．
6．若實數a，b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是( )．
a．18b．6c．2d．2
7．若不等式組，所表示的平面區域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是( )．
abcd．
8．直線x＋2y＋3＝0上的點p在x－y＝1的上方，且p到直線2x＋y－6＝0的距離為3，則點p的座標是( )．
a．(－5，1b．(－1，5c．(－7，2d．(2，－7)
9．已知平面區域如圖所示，z＝mx＋y(m＞0)在平面區域內取得最優解(最大值)有無數多個，則m的值為( )．
ab．cd．不存在
10．當x＞1時，不等式x＋≥a恆成立，則實數a的取值範圍是( )．
a．(－∞，2] b．[2c．[3d．(－∞，3]
二、填空題
11．不等式組所表示的平面區域的面積是
12．設變數x，y滿足約束條件若目標函式z＝ax＋y(a＞0)僅在點(3，0)處取得最大值，則a的取值範圍是
13．若正數a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值範圍是
14．設a，b均為正的常數且x＞0，y＞0，＋＝1，則x＋y的最小值為
15．函式y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的圖象恆過定點a，若點a在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，則＋的最小值為
16．某工廠的年產值第二年比第一年增長的百分率為p1，第三年比第二年增長的百分率為p2，若p1＋p2為定值，則年平均增長的百分率p的最大值為
三、解答題
17．求函式y＝(x＞－1)的最小值．
18．已知直線l經過點p(3，2)，且與x軸、y軸正半軸分別交於a，b兩點，當△aob面積最小時，求直線l的方程．
19．某企業生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用a原料3噸，b原料2噸；生產每噸乙產品要用a原料1噸，b原料3噸，銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元，銷售每噸乙產品可獲得利潤3萬元．該企業在乙個生產週期內消耗a原料不超過13噸，b原料不超過18噸.那麼該企業可獲得最大利潤是多少？
20．(1)已知x＜，求函式y＝4x－1＋的最大值；
(2)已知x，y∈r＊(正實數集)，且＋＝1，求x＋y的最小值；
(3)已知a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求的最大值．
參***
1．d解析：由已知f(x)＝＝＝，
∵ x≥，x－2＞0，
∴ ≥·＝1，
當且僅當x－2＝，即x＝3時取等號．
2．c解析：＋
＝x2＋
＝＋＋．
∵ x2＋≥2＝1，當且僅當x2＝，x＝時取等號；
≥2＝1，當且僅當y2＝，y＝時取等號；
≥2＝2(x＞0，y＞0)，當且僅當＝，y2＝x2時取等號．
∴＋＋≥1＋1＋2＝4，前三個不等式的等號同時成立時，原式取最小值，故當且僅當x＝y＝時原式取最小值4．
3．d解析：
方法一：特值法，如取a＝4，b＝1，代入各選項中的不等式，易判斷只有≥不成立．
方法二：可逐項使用均值不等式判斷
a：a＋b＋≥2＋≥2＝2，不等式成立．
b：∵ a＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得 (a＋b)(＋)≥4成立．
c：∵ a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2＝2，
又≤≥，∴≥a＋b 成立．
d：∵ a＋b≥2≤，∴≤＝，即≥不成立．
4．d解析: 因為f(x)是奇函式，則f(－x)＝－f(x)，
＜0＜0xf(x)＜0，滿足x與f(x)異號的x的集合為所求．
因為f(x)在(0，＋∞)上是增函式，且f(1)＝0，畫出f(x)在(0，＋∞)的簡圖如圖，再根據f(x)是奇函式的性質得到f(x) 在(－∞，0)的圖象．
由f(x)的圖象可知，當且僅當x∈(－1，0)∪(0，1)時，x與f(x)異號．
5．c解析：由0＜x＜，有sinx＞0，cosx＞0．
f(x)＝＝＝＋
≥2＝4，當且僅當＝，即tan x＝時，取「＝」．
∵ 0＜x＜，∴ 存在x使tan x＝，這時f(x)min＝4．
6．b解析：∵ a＋b＝2，故3a＋3b≥2＝2＝6，當且僅當a＝b＝1時取等號．
故3a＋3b的最小值是6．
7．a解析：不等式組表示的平面區域為如圖所示陰影部分
△abc．
由得a(1，1)，又b(0，4)，c(0，)．
由於直線y＝kx＋過點c(0，)，設它與直線
3x＋y＝4的交點為d，
則由s△bcd＝s△abc，知d為ab的中點，即xd＝，∴ yd＝，
∴＝k×＋，k＝．
8．a解析：設p點的座標為(x0，y0)，則解得
∴ 點p座標是(－5，1)．
9．b解析：當直線mx＋y＝z與直線ac平行時，線段ac上的每個點都是最優解．
∵ kac＝＝－，
∴ －m＝－，即m＝．
10．d
解析：由x＋＝(x－1)＋＋1，
∵ x＞1，∴ x－1＞0，則有(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，
則a≤3．
二、填空題
11．24．
解析：不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0可轉化為兩個
二元一次不等式組．
或 這兩個不等式組所對應的區域面積之和為所求．第乙個不等式組所對應的區域如圖，而第二個不等式組所對應的區域不存在．
圖中a(3，8)，b(3，－3)，c(0，5)，陰影部分的面積為＝24．
12．．
解析：若z＝ax＋y(a＞0)僅在點(3，0)處取得最大值，則直線z＝ax＋y的傾斜角一定小於直線x＋2y－3＝0的傾斜角，直線z＝ax＋y的斜率就一定小於直線x＋2y－3＝0的斜率，可得：－a＜－，即a＞．
13．ab≥9．
解析：由於a，b均為正數，等式中含有ab和a＋b這個特徵，可以設想使用≥構造乙個不等式．
∵ ab＝a＋b＋3≥＋3，即ab≥＋3(當且僅當a＝b時等號成立)，
∴ ()2－－3≥0，
∴ (－3)(＋1)≥0，∴≥3，即ab≥9(當且僅當a＝b＝3時等號成立)．
14．(＋)2．
解析：由已知，均為正數，
∴ x＋y＝(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋＝a＋b＋2，
即x＋y≥(＋)2，當且僅當即時取等號．
15．8．
解析：因為y＝loga x的圖象恆過定點(1，0)，故函式y＝loga(x＋3)－1的圖象恆過定點a(－2，－1)，把點a座標代入直線方程得m(－2)＋n(－1)＋1＝0，即2m＋n＝1，而由mn＞0知，均為正，
∴＋＝(2m＋n)(＋)＝4＋＋≥4＋＝8，當且僅當即時取等號．
16．．
解析：設該廠第一年的產值為a，由題意，a(1＋p)2＝a(1＋p1)(1＋p2)，且1＋p1＞0，
1＋p2＞0，
所以a(1＋p)2＝a(1＋p1)(1＋p2)≤a＝a，解得
p≤，當且僅當1＋p1＝1＋p2，即p1＝p2時取等號．所以p的最大值是．
三、解答題
17．解：令x＋1＝t＞0，則x＝t－1，
y＝＝＝t＋＋5≥＋5＝9，
當且僅當t＝，即t＝2，x＝1時取等號，故x＝1時，y取最小值9．
18．解：因為直線l經過點p(3，2)且與x軸y軸都相交，
故其斜率必存在且小於0．設直線l的斜率為k，
則l的方程可寫成y－2＝k(x－3)，其中k＜0．
令x＝0，則y＝2－3k；令y＝0，則x＝－＋3．
s△aob＝(2－3k)(－＋3)＝≥＝12，當且僅當(－9k)＝(－)，即k＝－時，s△aob有最小值12，所求直線方程為
y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0．
19．解：設生產甲產品噸，生產乙產品噸，則有關係：
則有，目標函式z＝5x＋3y
作出可行域後求出可行域邊界上各端點的座標，可知
當x＝3，y＝4時可獲得最大利潤為27萬元.
20．解：(1)∵ x＜，∴ 4x－5＜0，故5－4x＞0．
y＝4x－1＋＝－(5－4x＋)＋4．
∵ 5－4x＋≥＝2，
∴ y≤－2＋4＝2，
當且僅當5－4x＝，即x＝1或x＝(舍)時，等號成立，
故當x＝1時，ymax＝2．
(2)∵ x＞0，y＞0，＋＝1，
∴ x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16．
當且僅當＝，且＋＝1，即時等號成立，
∴ 當x＝4，y＝12時，(x＋y)min＝16．
(3)a＝a＝·a≤＝，
當且僅當a＝，即a＝，b＝時，a有最大值．
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