1.已知拋物線x2=ay的焦點恰好為雙曲線y2-x2=2的上焦點,則a=( )
a.1 b.4 c.8 d.16
2.(2014遼寧,文8)已知點a(-2,3)在拋物線c:y2=2px的準線上,記c的焦點為f,則直線af的斜率為( )
a.- b.-1 c.- d.-
3.拋物線y=-4x2上的一點m到焦點的距離為1,則點m的縱座標是( )
a.- b.- c. d.
4.拋物線c的頂點為原點,焦點在x軸上,直線x-y=0與拋物線c交於a,b兩點,若p(1,1)為線段ab的中點,則拋物線c的方程為( )
5.已知拋物線c:y2=8x的焦點為f,準線與x軸的交點為k,點a在c上,且|ak|=|af|,則afk的面積為( )
a.4 b.8 c.16 d.32
6.以拋物線x2=16y的焦點為圓心,且與拋物線的準線相切的圓的方程為 .
7.已知拋物線x2=2py(p為常數,p≠0)上不同兩點a,b的橫座標恰好是關於x的方程x2+6x+4q=0(q為常數)的兩個根,則直線ab的方程為 .
8.已知f是拋物線c:y2=4x的焦點,a,b是c上的兩個點,線段ab的中點為m(2,2),求abf的面積.
9.已知一條曲線c在y軸右邊,c上每一點到點f(1,0)的距離減去它到y軸距離的差都是1.
(1)求曲線c的方程;
(2)是否存在正數m,對於過點m(m,0),且與曲線c有兩個交點a,b的任一直線,都有<0?若存在,求出m的取值範圍;若不存在,請說明理由.
10.已知拋物線y2=2px,以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關係是( )
a.相離 b.相交 c.相切 d.不確定
11.設x1,x2r,常數a>0,定義運算「*」,x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,則動點p(x,)的軌跡是( )
a.圓 b.橢圓的一部分
c.雙曲線的一部分 d.拋物線的一部分
12.已知拋物線c:y2=8x的焦點為f,準線為l,p是l上一點,q是直線pf與c的乙個交點.若=4,則|qf|=( )
a. b.3 c. d.2
13.過拋物線x2=2py(p>0)的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交於a,b兩點,a,b在x軸上的正射影分別為d,c.若梯形abcd的面積為12,則p= .
14.(2014大綱全國,文22)已知拋物線c:y2=2px(p>0)的焦點為f,直線y=4與y軸的交點為p,與c的交點為q,且|qf|=|pq|.
(1)求c的方程;
(2)過f的直線l與c相交於a,b兩點,若ab的垂直平分線l'與c相交於m,n兩點,且a,m,b,n四點在同一圓上,求l的方程.
15.已知拋物線c:y2=2px(p>0)的焦點為f,a為c上異於原點的任意一點,過點a的直線l交c於另一點b,交x軸的正半軸於點d,且有|fa|=|fd|.
當點a的橫座標為3時,adf為正三角形.
(1)求c的方程;
(2)若直線l1l,且l1和c有且只有乙個公共點e,
證明直線ae過定點,並求出定點座標;
abe的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值;若不存在,請說明理由.
參***及解析：
解析:根據拋物線方程可得其焦點座標為,雙曲線的上焦點為(0,2),依題意則有=2,解得a=8.
解析:由已知,得準線方程為x=-2,
f的座標為(2,0).
又a(-2,3),直線af的斜率為k==-.故選c.
解析:拋物線方程可化為x2=-,其準線方程為y=.
設m(x0,y0),則由拋物線的定義,可知-y0=1y0=-.
解析:設a(x1,y1),b(x2,y2),拋物線方程為y2=2px,
則兩式相減可得2p=×(y1+y2)=kab×2=2,
即可得p=1,故拋物線c的方程為y2=2x.
解析:拋物線c:y2=8x的焦點為f(2,0),準線為x=-2,k(-2,0).
設a(x0,y0),過點a向準線作垂線ab垂足為b,則b(-2,y0).
|ak|=|af|,
又|af|=|ab|=x0-(-2)=x0+2,
由|bk|2=|ak|2-|ab|2,
得=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,
解得a(2,±4).
故afk的面積為|kf|·|y0|
=×4×4=8.
解析:拋物線的焦點為f(0,4),準線為y=-4,
則圓心為(0,4),半徑r=8.
故圓的方程為x2+(y-4)2=64.
7.3x+py+2q=0 解析:由題意知,直線ab與x軸不垂直.
設直線ab的方程為y=kx+m,與拋物線方程聯立,得x2-2pkx-2pm=0,
此方程與x2+6x+4q=0同解,
則解得故直線ab的方程為y=-x-,
即3x+py+2q=0.
8.解:由m(2,2)知,線段ab所在的直線的斜率存在,
設過點m的直線方程為y-2=k(x-2)(k≠0).
由消去y,
得k2x2+(-4k2+4k-4)x+4(k-1)2=0.
設a(x1,y1),b(x2,y2),
則x1+x2=,
x1x2=.
由題意知=2,
則=4,解得k=1,
於是直線方程為y=x,x1x2=0.
因為|ab|=|x1-x2|=4,
又焦點f(1,0)到直線y=x的距離d=,所以abf的面積是×4=2.
9.解:(1)設p(x,y)是曲線c上任意一點,
則點p(x,y)滿足-x=1(x>0),
化簡得y2=4x(x>0).
(2)設過點m(m,0)(m>0)的直線l與曲線c的交點為a(x1,y1),b(x2,y2).
設l的方程為x=ty+m.
由得y2-4ty-4m=0,
δ=16(t2+m)>0,
於是因為=(x1-1,y1),
=(x2-1,y2),
所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.
又<0,
所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③
因為x=,所以不等式可變形為
+y1y2-+1<0,
即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.
將代入整理得m2-6m+1<4t2.
因為對任意實數t,4t2的最小值為0
所以不等式對於一切t成立等價於m2-6m+1<0,
即3-20),則fd的中點為.
因為|fa|=|fd|,
由拋物線的定義知3+,
解得t=3+p或t=-3(捨去).
由=3,解得p=2.
所以拋物線c的方程為y2=4x.
(2)由(1)知f(1,0).
設a(x0,y0)(x0y0≠0),d(xd,0)(xd>0),
因為|fa|=|fd|,
則|xd-1|=x0+1.
由xd>0得xd=x0+2,
故d(x0+2,0).
故直線ab的斜率kab=-.
因為直線l1和直線ab平行,設直線l1的方程為y=-x+b,
代入拋物線方程得y2+y-=0,
由題意δ==0,
得b=-.
設e(xe,ye),
則ye=-,xe=.
當≠4時,kae==-,
可得直線ae的方程為y-y0=(x-x0),
由=4x0,整理可得y=(x-1),
直線ae恆過點f(1,0).
當=4時,直線ae的方程為x=1,過點f(1,0).
所以直線ae過定點f(1,0).
由知直線ae過焦點f(1,0),
所以|ae|=|af|+|fe|=(x0+1)+=x0++2.
設直線ae的方程為x=my+1,
因為點a(x0,y0)在直線ae上,
故m=.
設b(x1,y1),
直線ab的方程為y-y0=-(x-x0),由於y0≠0,
可得x=-y+2+x0,
代入拋物線方程得y2+y-8-4x0=0.
所以y0+y1=-,
可求得y1=-y0-,
x1=+x0+4.
所以點b到直線ae的距離為
d===4.
則abe的面積s=×4≥16,
當且僅當=x0,即x0=1時等號成立.
所以abe的面積的最小值為16.
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