蘇北四市數學試題
數學ⅰ 必做題部分
本部分滿分160分，時間120分鐘）
參考公式：錐體的體積公式：，其中是錐體的底面面積，是高．
一、填空題：本題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案填寫在答題卡上．
1．設複數為虛數單位,若為實數,則的值為 ▲ ．
2．已知集合，，且，則實數的值是 ▲ ．
3．某林場有樹苗3000棵，其中松樹苗400棵．為調查樹苗的生長情況，採用分層抽樣的方法抽取乙個容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的棵數為 ▲ ．
4．在的邊上隨機取一點, 記和的面積分別為和，則的概率是 ▲ ．
5．已知雙曲線的一條漸近線方程為，
則該雙曲線的離心率為 ▲ ．
6．右圖是乙個演算法流程圖，則輸出的值是 ▲ ．
7．函式的定義域為 ▲ ．
8．若正三稜錐的底面邊長為，側稜長為1，則此三稜錐
的體積為 ▲ ．
9．在△中，已知，，且的面積
為，則邊長為 ▲ ．
10．已知函式，則不等式的
解集為 ▲ ．
11．已知函式的最大值與最小正週期相同，則函式在上的單調增區間為 ▲ ．
12．設等比數列的前項和為，若成等差數列，且，其中，則的值為 ▲ ．
13．在平面四邊形中，已知，，點分別在邊上，且，．若向量與的夾角為，則的值為 ▲ ．
14．在平面直角座標系中，若動點到兩直線：和：的距離之和為，則的最大值為 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(本小題滿分14分)
已知向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的值．
16．(本小題滿分14分)
如圖，在三稜錐中，點分別是稜的中點．
(1)求證： //平面；
(2)若平面平面，，求證：．
17．(本小題滿分14分)
某單位擬建乙個扇環麵形狀的花壇(如圖所示)，該扇環麵是由以點為圓心的兩個同心圓弧和延長後通過點的兩條直線段圍成．按設計要求扇環麵的周長為30公尺，其中大圓弧所在圓的半徑為10公尺．設小圓弧所在圓的半徑為公尺，圓心角為（弧度）．
（1）求關於的函式關係式；
（2）已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/公尺，弧線部分的裝飾費用為9元/公尺．設花壇的面積與裝飾總費用的比為，求關於的函式關係式，並求出為何值時，取得最大值？
18．(本小題滿分16分)
已知的三個頂點，，，其外接圓為．
(1)若直線過點，且被截得的弦長為2，求直線的方程；
(2)對於線段上的任意一點，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點，使得點是線段的中點，求的半徑的取值範圍．
19．(本小題滿分16分)
已知函式（為常數），其圖象是曲線．
（1）當時，求函式的單調減區間；
（2）設函式的導函式為，若存在唯一的實數，使得與同時成立，求實數的取值範圍；
（3）已知點為曲線上的動點，在點處作曲線的切線與曲線交於另一點，在點處作曲線的切線，設切線的斜率分別為．問：是否存在常數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
20．（本小題滿分16分）
已知數列滿足，，，是數列的前項和．
(1)若數列為等差數列．
（ⅰ）求數列的通項；
（ⅱ）若數列滿足，數列滿足，試比較數列前項和與前項和的大小；
(2)若對任意，恆成立，求實數的取值範圍．
數學試題
數學ⅱ 附加題部分
注意事項
1． 本試卷共2頁，均為非選擇題（第21題～第23題，共4題）。本卷滿分為40分，考試時間為30分鐘。考試結束後，請將本試卷和答題卡一併交回。
2． 作答試題，必須用0.5公釐黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律無效。
21.【選做題】本題包括a、b、c、d四小題，請選定其中兩題，並在相應的答題區域內作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
a．(選修4—1：幾何證明選講)（本小題滿分10分）
如圖，點為銳角的內切圓圓心，過點作直線
的垂線，垂足為，圓與邊相切於點．若，
求的度數．
b．(選修4—2：矩陣與變換)（本小題滿分10分）
設矩陣（其中），若曲線在矩陣所對應的變換作用下得到曲線，求的值．
c．(選修4—4：座標系與引數方程)（本小題滿分10分）
在平面直角座標系中，已知直線的引數方程是（為引數）；以為極點，軸正半軸為極軸的極座標系中，圓的極座標方程為．由直線上的點向圓引切線，求切線長的最小值．
d．(選修4—5：不等式證明選講)（本小題滿分10分）
已知均為正數,證明：．
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
22．（本小題滿分10分）
某品牌汽車4店經銷三種排量的汽車，其中三種排量的汽車依次有５，4，3款不同車型．某單位計畫購買3輛不同車型的汽車，且購買每款車型等可能．
(1)求該單位購買的3輛汽車均為種排量汽車的概率；
(2)記該單位購買的3輛汽車的排量種數為，求的分布列及數學期望．
23．（本小題滿分10分）
已知點，，動點滿足．
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)在直線：上取一點，過點作軌跡的兩條切線，切點分別為．問：是否存在點，使得直線//？若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由．
參***
數學ⅰ部分
一、填空題：
1． 2． 345． 6． 7．
8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．
二、解答題：
15．（1）由可知，，所以2分
所以6分
（2）由可得，
，即10分
又，且 ，由可解得，，…………………12分
所以14分
16．（1）在中，、分別是、的中點，所以，
又平面，平面，
所以平面6分
（2）在平面內過點作，垂足為．
因為平面平面，平面平面，
平面，所以平面,………………8分
又平面，所以10分
又，，平面，
平面，所以平面12分
又平面，所以14分
17．(1)設扇環的圓心角為，則，
所以4分
(2) 花壇的面積為．………………7分
裝飾總費用為9分
所以花壇的面積與裝飾總費用的比11分
令，則，當且僅當t=18時取等號，此時．
答：當時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大14分
(注：對也可以通過求導，研究單調性求最值，同樣給分)
18．(1)線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，
所以外接圓圓心，半徑，
圓的方程為4分
設圓心到直線的距離為，因為直線被圓截得的弦長為2，所以．
當直線垂直於軸時，顯然符合題意，即為所求6分
當直線不垂直於軸時，設直線方程為，則
，解得，
綜上，直線的方程為或8分
(2)直線的方程為，設，
因為點是線段的中點，所以，又都在半徑為的圓上，
所以即…………………10分
因為該關於的方程組有解，即以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，
為半徑的圓有公共點，所以,…………12分
又，所以對]成立．
而在[0，1]上的值域為[，10]，所以且．……15分
又線段與圓無公共點，所以對成立，即.
故圓的半徑的取值範圍為16分
19．(1)當時2分
令f (x)<0，解得，所以f(x)的單調減區間為4分
(2)，由題意知消去，
得有唯一解6分
令，則，
所以在區間，上是增函式，在上是減函式，……………8分
又，，故實數的取值範圍是10分
(3)設，則點處切線方程為，
與曲線：聯立方程組，得，即，
所以點的橫座標12分
由題意知，，，
若存在常數，使得，則，
即存在常數，使得，
所以解得15分
故時，存在常數，使；時，不存在常數，使．……16分
20．(1)（ⅰ）因為，所以，
即，又，所以2分
又因為數列成等差數列，所以，即，解得，
所以4分
（ⅱ）因為，所以，其前項和，
又因為5分
所以其前項和，所以，…………………7分
當或時，；當或時，；
當時9分
（2）由知，
兩式作差，得10分
所以,作差得， ……………11分
所以，當時，；
當時，；
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