宋廣志江蘇省興化市楚水實驗學校郵編 （225700）
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我們都熟知立體幾何中的三餘弦定理：
如圖1，直二面角，， ，，，記，，，則．
定理中，要求二面角為直二面角，當二面角不為直二面角時，又有怎樣的結論呢？筆者通過**，發現這三個角之間也存在著簡潔美妙的關係，本文擬作介紹，並說明其簡單應用。
推廣：如圖2，二面角的平面角為θ，， ，，，記，，，則．
證明：過a作於a1、過b作於b1，令，則，所以，從而；同理．所以
．又因為，，
所以，即．
當二面角為直二面角，即時，，從而，即，為通常的三餘弦定理．
推廣中共有四個角，知道其中的三個可以很方便地求出第四個角．以下略舉兩例，感受其應用．
例1 (2017江蘇高考22題)如圖3，平行六面體中，，且，，．
(1)求異面直線與所成角的余弦值；
(2)求二面角的正弦值．
解：(1) 設．將與看作的二面角內的兩條線，由題意有，，所以，，從而，．
由三餘弦定理的推廣有，所以．
即得異面直線與所成角的余弦值為．
(2) 設二面角的平面角為θ．
由題意，所以，從而．又因為，，，所以，從而．
例2 (2018泰州高三調研)如圖4，在四稜錐中，ap、ab、ad兩兩垂直，，且，．求二面角的余弦值．
解：設二面角的平面角為θ．由題意，知，．
由三餘弦定理得，
所以，．
由三餘弦定理得推廣得．
利用三餘弦定理的推廣有時可以很方便地求出空間的一些角，如面面角，線線角，進一步也可以求出線面角．讓我們在解題中做有心人，注意一些小技巧，掌握一點旁門術，為迅速解題積累經驗，儲備能量，從而提公升數學解題能力．
37正弦定理和餘弦定理的應用
必備知識 仰角和俯角。在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角 如圖 典題例析 q1 2014 新課標全國卷 如圖，為測量山高mn，選擇a和另一座山的山頂c為測量觀測點 從a點測得m點的仰角 man 60 c點的仰角 cab 45 以...
正弦定理 餘弦定理總結和應用
1 掌握正弦定理 餘弦定理，並能解決一些簡單的三角形度量問題 2 能夠運用正弦定理 餘弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題 主要考查有關定理的應用 三角恒等變換的能力 運算能力及轉化的數學思想 解三角形常常作為解題工具用於立體幾何中的計算或證明，或與三角函式聯絡在一起求距離 高度...
正餘弦定理應用小結
點評 雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬於 不過河求河寬問題 二 遇險問題 例4某艦艇測得燈塔在它的東15 北的方向，此艦艇以30海浬 小時的速度向正東前進，30分鐘後又測得燈塔在它的東30 北。若此燈塔周圍10海浬內有暗礁，問此艦艇繼續向東 航行有無觸礁的危險？解析 如圖艦艇在a點處觀測到燈塔s在...