人教版高中數學選修4-4
知識點梳理
重點題型（常考知識點）鞏固練習
直線的引數方程
【學習目標】
1．能選擇適當的引數寫出直線的引數方程．
2. 會運用直線的引數方程解決有關問題。
【要點梳理】
要點一、直線的引數方程的標準形式
1. 直線引數方程的標準形式：
經過定點，傾斜角為的直線的引數方程為：
（為引數）；
我們把這一形式稱為直線引數方程的標準形式。
2. 引數的幾何意義：
引數表示直線上以定點為起點，任意一點m(x,y)為終點的有向線段的長度再加上表示方向的正負號，也即，表示直線上任一點m到定點的距離。
當點在上方時，；
當點在下方時，；
當點與重合時，；
要點注釋：若直線的傾角時，直線的引數方程為.
要點二、直線的引數方程的一般形式
過定點p0(x0,y0)斜率k=tgα=的直線的引數方程是
(t為引數)
在一般式中，引數t不具備標準式中t的幾何意義。若a2+b2=1,則為標準式，此時，｜t｜表示直線上動點p到定點p0的距離；若a2+b2≠1，則動點p到定點p0的距離是｜t｜.
要點三、化直線引數方程的一般式為標準式
一般地，對於傾斜角為、過點m0()直線引數方程的一般式為，. （t為引數）， 斜率為
(1) 當＝1時，則t的幾何意義是有向線段的數量.
(2) 當≠1時，則t不具有上述的幾何意義.
可化為令t=
則可得到標準式 t的幾何意義是有向線段的數量.
要點四、直線引數方程的應用
1. 直線引數方程中引數的幾何意義幾種常見用法：
設過點p0(x0,y0),傾斜角為α的直線l的引數方程是
（t為引數）
若p1、p2是l上的兩點，它們所對應的引數分別為t1,t2，則
（1）p1、p2兩點的座標分別是：(x0+t1cosα,y0+t1sinα)，(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；
(2)｜p1p2｜=｜t1-t2｜;
(3) 線段p1p2的中點p所對應的引數為t，則t=
中點p到定點p0的距離｜pp0｜=｜t｜=｜｜
(4) 若p0為線段p1p2的中點，則t1+t2=0.
2. 用直線引數方程解直線與圓錐曲線相交的幾種題型：
（1）有關弦長最值題型
過定點的直線標準引數方程，當直線與曲線交於a、b兩點。則a、b兩點分別用參變數t1、t2表示。
一般情況a、b都在定點兩側，t1，t2符號相反，故|ab|=| t1- t2|，即可作分公式。且因正、余弦函式式最大（小）值較容易得出，因此型別題用直線標準引數方程來解，思路固定、解法步驟定型，計算量不大而受大家的青睞。
(2)有關相交弦中點、中點軌跡的題型
直線標準引數方程和曲線兩交點a(t1)、b(t2)的中點座標相應的引數；若定點恰為ab為中點，則t1+t2=0 . 這些引數值都很容易由韋達定理求出。因此有關直線與曲線相交，且與中點座標有關的問題，用直線標準引數方程解決較為容易得出結果。
（3）有關兩線段長的乘積（或比值）的題型
若f為定點，p、q為直線與曲線兩交點，且對應的引數分別為t1、t2. 則|fp|·|fq|=| t1·t2|，
由韋達定理極為容易得出其值。因此有關直線與曲線相交線段積（或商）的問題，用直線的標準引數方程
解決為好
【典型例題】
型別一、直線的引數方程
例1. （2016春福州校級期中）直線（t為引數）的傾斜角是（ ）
a． 20° b. 70° c. 110° d. 160°
【思路點撥】因為不是標準形式，不能直接判斷出傾斜角，有兩種方法：化為普通方程，化標準形式。
【答案】d
【解析】第一種方法：化為普通方程，求傾斜角．
把引數方程改寫成，
消去t，有，
即，所以直線的傾斜角為160°．
第二種方法：化引數方程為直線的標準引數方程，
所以直線的傾斜角為160°，選d．
【總結昇華】根據引數方程判斷傾斜角，首先要看引數方程的形式是不是標準形式，如果是標準形式，根據方程就可以判斷出傾斜角，例如（t為引數），可以直接判斷出直線的傾斜角是20°，但是如果不是標準形式，就不能直接判斷出傾斜角了。
舉一反三：
【變式1】 已知直線的引數方程為（t為引數），求直線的傾斜角．
【答案】 關鍵是將已知的引數方程化為的形式。
若化成另一種形式，
若2t為乙個引數，則，在內無解；
而化成時，則得．
故直線的傾斜角為．
【變式2】求直線的斜率。
【答案】
∴【變式3】為銳角，直線的傾斜角（ ）。
a、 bc、 d、
【答案】，相除得，
∵，∴傾角為，選c。
【變式4】 已知直線的引數方程為，的引數方程為．試判斷與的位置關係．
【答案】
解法一：將直線化為普通方程，得y=2x+1，將化為普通方程，得．
因為，所以兩直線垂直．
解法二：由引數方程可知的方向向量是a1=（2，4），的方向向量是a2=（2，－1），又2×2+4×(－1)=0， ∴．
即兩條直線垂直．
【直線的引數方程406451例題1】
例2．設直線的引數方程為．
（1）求直線的直角座標方程；
（2）化引數方程為標準形式．
【思路點撥】
在直線的引數方程的標準形式中引數t的係數具有明確的意義，分別是直線的傾斜角的正、余弦值，且y值中t的係數一定為正．
【解析】（1）把代入y的表示式，
得，化簡得4x+3y－50=0．
所以直線的直角座標方程為4x+3y－50=0．
（2）把方程變形為
，令u=－5t，則方程變為．
記，，∴直線引數方程的標準形式是：
【總結昇華】
已知直線的引數方程為（t為引數），由直線的引數方程的標準形式可知引數t前的係數分別是其傾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和為1，故可將原式轉化為再令，，由直線傾斜角的範圍，使在[0，π）範圍內取值，並且把看成標準方程中的引數t，即得標準式的引數方程為（t為引數）．由上述過程可知，一般引數方程中的具有標準形式引數方程中引數t的幾何意義。
舉一反三：
【變式1】寫出經過點m0（－2，3），傾斜角為的直線的標準引數方程，並且求出直線上與點m0相距為2的點的座標.
【答案】直線的標準引數方程為即（t為引數）（1）
設直線上與已知點m0相距為2的點為m點，且m點對應的引數為t,
則| m0m|＝|t| =2, ∴t=±2 將t的值代入(1)式
當t=2時，m點在 m0點的上方，其座標為（－2－，3＋）；
當t=-2時，m點在 m0點的下方，其座標為（－2＋，3－）.
【變式2】直線的引數方程能否化為標準形式？
【答案】 是可以的，只需作引數t的代換.(構造勾股數，實現標準化)
令t=得到直線引數方程的標準形式 t的幾何意義是有向線段的數量.
【變式3】化直線的普通方程＝0為引數方程，並說明引數的幾何意義,說明∣t∣的
幾何意義.
【答案】令y=0,得＝1，∴直線過定點(1,0). k＝－=－
設傾斜角為，tg=－,= , cos =－, sin=
的引數方程為 （t為引數）
t是直線上定點m0（1，0）到t對應的點m()的有向線段的數量.由 (1)、(2)兩式平方相加,得
∣t∣＝∣t∣是定點m0（1，0）到t對應的點m()的有向線段的長.
型別二、直線的標準引數方程的初步應用
例3． 設直線過點a（2，－4），傾斜角為．
（1）求的引數方程；
（2）設直線，與的交點為b，求點b與點a的距離．
【思路點撥】（2）中，若使用直線的普通方程利用兩點間的距離公式求m點的座標較麻煩，而使用直線的引數方程，充分利用引數t的幾何意義求較容易.
【解析】（1）直線的引數方程為， 即（t為引數）．
（2）如圖所示，b點在上，只要求出b點對應的引數值t，則|t|就是b到a的距離．
把的引數方程代入的方程中，
得，∴，∴．
由t為正值，知．
【總結昇華】
（1）求直線上某一定點到直線與曲線交點的距離時，通常要使用引數的幾何意義，宜用引數方程的標準形式．而對於某些比較簡單的直線問題，比如求直線和座標軸或者與某條直線的交點時宜用直線的普通方程．
（2）本類題常見錯誤是轉化引數方程時不注意題目內容，隨便取乙個定點．
舉一反三：
【變式1】已知直線與直線相交於點，又點，
則【答案】。 將代入得，則，而，得
【變式2】已知直線l1過點p(2，0)，斜率為．
(1)求直線l1的引數方程；
(2)若直線l2的方程為x＋y＋5＝0，且滿足l1∩l2＝q，求|pq|的值．
【答案】(1) 設直線的傾斜角為α，由題意知tan α＝，
所以sin α＝，cos α＝，故l1的引數方程為(t為引數)．
(2)將代入l2的方程得：2＋t＋t＋5＝0，解得t＝－5，即q(－1，－4)，所以|pq|＝5．
【變式3】求點a（1，2）關於直線l：2x 3y +1 =0的對稱點a' 的座標。
【答案】
由條件，設直線aa' 的引數方程為 (t是引數)，
∵a到直線l的距離d =， ∴ t = aa' =，
代入直線的引數方程得a' (，)。
【變式4】 已知直線過點p（3，2），且與x軸和y軸的正半軸分別交於a、b兩點，求|pa|·|pb|的值為最小時的直線的方程．
【答案】設直線的傾斜角為，
則它的引數方程為（t為引數）．
由a、b分別是x軸、y軸上的點知ya=0，xb=0，
∴0=2+t sin，即；
0=3+t cos，即．
故．∵90°＜＜180°，
∴當2=270°，即=135°時，|pa|·|pb|有最小值．
∴直線方程為（t為引數），
化為普通方程為x+y－5=0．
型別三、直線引數方程在圓錐曲線中的應用
例4. 經過點，傾斜角為的直線與圓x2+y2=25相交於b、c兩點．
高中數學選修4 4知識點歸納
一 選考內容 座標系與引數方程 高考考試大綱要求 1 座標系 理解座標系的作用.了解在平面直角座標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.能在極座標系中用極座標表示點的位置，理解在極座標系和平面直角座標系中表示點的位置的區別，能進行極座標和直角座標的互化.能在極座標系中給出簡單圖形 如過極點的直線 過極...
高中數學選修知識點
選修數學知識點 專題一 常用邏輯用語 1 命題 可以判斷真假的語句叫命題 邏輯聯結詞 或 且 非 這些詞就叫做邏輯聯結詞 簡單命題 不含邏輯聯結詞的命題 復合命題 由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題.常用小寫的拉丁字母，表示命題.2 四種命題及其相互關係 四種命題的真假性之間的關係 兩個命題互為逆否命...
高中數學知識點整理
高中數學知識精簡版 必修1 第一章集合 常用的結論 1 a是b的子集的時候不要忘了a為空集啊！有關集合的題目一定要看清集合屬性是點集還是數集 第二章 函式 一 函式值域的求法 1 直接觀察法.2 配方法.3 判別式法.4 函式有界性法 反表示 5 函式單調性法.6 換元法.7 不等式法 基本不等式的...