第２７卷第４期２０１１年７月
後勤工程學院學報
ｊｕ１．２０１１
文章編號
有限群的極大子群的正規指數
付詩祿，王春林，方玲
（後勤工程學院基礎部，重慶４０１３１１）摘要
有限群的結構與其子群性質間的關係問題是群論的乙個重要研究方向，通過
群的極大子群、正規子群、半正規子群、極大子群的正規指數等去研究群的可解性，超可解性、冪零性等，已有一系列結果。應用極小反例方法，利用有限群極大子群的正規指數，得到了乙個有限群是仃一可解群的充分條件，２個有限群是７ｒ一可解群的充分必要條件。
關鍵詞極小反例；正規指數；７ｒ一可解群
文獻標誌碼：ａ
中圖分類號：ｏ１５２．１仃一丌
本文討論的群都是有限群，用ｍ＜ｇ表示子群是群ｇ的極大子群，日≤ｇ表示子群是群ｇ的
子群，仃表示一素數集合，７ｒ表示這個集合的補集，７ｒ（ｇ）表示群ｇ的階的全部素因子的集合，［ｇ：ｍ］表示的指數［ｇ：ｍ］的仃部分。
其餘符號都是標準的。有限群的結構與其子群性質問的關係問題是群論的乙個重要研究方向，通過群的極大子群、正規子群、半正規子群、極大子群的正規指數等去研究群的可解性、超可解性、冪零性等，已有一系列結果。在文獻［１—２］中，用極小反例和正規指數得到了幾個７ｒ一
可解群是可解群的充要條件，在文獻［３—４］中給出了一些群是ｐ一可解群的條件，其他一些研究結果見文
獻［５—１５］，本文將進一步研究乙個群是仃一可解群的條件。
１定義定義１ｇ是群，７ｒ是一給定素數集合，如果存在ｇ的乙個正規子群列使ｎ／ｎ…是７ｒ一群或ｐ一群，ｐ∈丌，０，１，…，卜－１，則稱ｇ為７『一可解群。
收稿日期
作者簡介：付詩祿，男，副教授，碩士，主要從事有限群論及數學模型研究。
第４期付詩祿等有限群的極大子群的正規指數８９
定義２ 設是ｇ的乙個極大子群，ⅳ是在ｇ中的極小正規補群，則ｇ的主因子ｎ／ｋ的階被稱為
群ｇ的極大子群的正規指數。記為叼（ｇ：ｍ），即
設且［ｇ：ｍ］是合數｝。
２ 主要結果
定理１設ｐ是群ｇ的階的最大素因子，ｐ∈７ｒ，若ｇ有乙個７ｒ一可解的極大子群使叩且對若ｉｇ：ｔｉ＝１都有叼則ｇ是７『一可解群。證明
對群ｇ的階採用歸納法，假設 。≠１且讓ⅳ是乙個含於 。（ⅳ≤ｍ。）的ｇ的極小正規子群，
若仃中素數ｐ不整除ｇ／ｎ的階，則ⅳ是乙個ｓｙｌｏｗ７ｒ一子群，且為７ｒ一可解群。反之若７ｒ中素數ｐ整除ｇ／ｎ的階，則由歸納ｇ／ｎ是７ｒ一可解群，因為ⅳ是７ｒ一可解群，從而得ｇ是７ｒ一可解群。故可假設ｍ ＝
１，即群ｇ是乙個本原群。
若ｇ是３一型本原群，則ｓｏｃ（ｇ）是群ｇ的兩個非交換的極小正規子群的直積，且有公共的補集 。
即其中ａ，日是群ｇ的極小正規子群，由歸納知道ｇ／ａ，ｇ／ｂ都是７ｒ一可解群，從而得ｇ是
７ｒ一可解群。若ｇ是２一型本原群，則ｓｏｃ（ｇ）是群ｇ的非交換的極小正規子群。若ｖｐ∈７ｒ且
記ｐ是ｓｏｃ（ｇ）的ｓｙｌｏｗ７ｒ一子群，則若 （屍）是ｇ的真子群，則存在乙個極大子群
，使得因為ｖｔ∈ｃ （ｇ），若ｉｇ：ｔｉ＝１都有故
型本原群，則ｓｏｃ（ｇ）是群ｇ的可交換的極小正規子群。顯然此時ｇ是７ｒ一可解群。
｛１｝，矛盾。若ｙｐ∈７ｒ且ｐ不整除ｉｓｏｃ（ｇ）ｌ，則ｇ／ｓｏｃ（ｇ）是７ｒ一可解群，從而ｇ是７ｒ一可解群。若ｇ是１
一定理２設ｐ是群ｇ的階的最大素因子，ｐ∈７ｒ，則ｇ是７ｒ一可解群的充分必要條件是ｖｍｅｅｃ
有證明先證充分性。若ｇ是７ｒ一可解群且ｌｇ：．ｍｉ＝１，則ｓｏｃ（ｇ／ｍ ）是７ｒ一群，從而
有再證必要性。設ｇ是滿足有叩（ｇ：ｍ）＝１的最小階的非丌一可解群，則ｇ必滿足下列條件之一：
（１）若ⅳ是ｇ的乙個極小正規子群，則仃（ｇ）中的素因子整除ｉｇ／ｎｉ或者ⅳ是ｇ的ｓｙｌｏｗ仃一子群。
記ⅳ是ｇ的乙個極小正規子群，且對ｖｐｅｅ仃（ｇ），ｐ不整除ｇ／ｎ的階，設ｐ是ⅳ的ｓｙｌｏｗ ７ｒ一子群，則ｇ＝
ⅳｇ（ｐ）ⅳ，若ｎｇ（ｐ）是ｇ的乙個真子群，則存在乙個極大子群 ，使得顯然ｍ∈ｃ （ｇ），
且ｊｇ：ｍｉ＝１，因此叩矛盾，故ⅳｇ（ｐ）＝ｇ，且ⅳ是ｇ的乙個ｓｙｌｏｗ ７『一子群。從而ｇ是７ｒ一可解群，矛盾。
（２）ｇ有唯一極小正規子群且 （ｇ）ｎ－－１，即ｇ是乙個本原群。若 （ｇ）≠１，設ｐ是整除群ｇ／ｃｉ）（ｇ）的階的最大素因子，由歸納ｃ／４￣（ｇ）是一可解群，從而ｇ是７ｒ一可解群，矛盾，故可設 （ｇ）＝｛ｌ｝。若ｇ的極小正規子群不唯一，即ⅳ ，ⅳ２是ｇ的兩個不同的正規子群，由（１）可假設７ｒ（ｇ）中的素因子整除ｉｇ／
ⅳ。ｌ，若７ｒ（ｇ）中的素因子整除ｊｇ／ⅳ２ｉ，則ｇ是７ｒ一可解群，矛盾。因此不整除ｇ／ⅳ２的階，
則由（１）知道ⅳ２是ｇ的乙個ｓｙｌｏｗ仃一子群，這樣ｇ／ⅳ２就是乙個ｔ７ｒ一子群，從而ｇ是仃一可解群，矛盾。故ｇ有唯一極小正規子群。
由於ｇ有唯一極小正規子群，故ｇ不可能是３一型本原群。若ｇ是２一型本原群，則ｓｏｃ（ｇ）是群ｇ的非交換的極小正規子群，則ｇ／ｓｏｃ（ｇ）是７ｒ一可解群。若整除ｓｏｃ（ｇ）的階，設ｐ是ｓｏｃ（ｇ）的ｓｙ—
ｌｏｗ仃一子群，按照（１）的方法可知ｐ是ｇ的乙個正規子群，矛盾。從而ｓｏｃ（ｇ）是個７ｒ一群，從而ｇ是７ｒ一可解群，矛盾。若ｇ是１一型本原群，則ｓｏｃ（ｇ）是群ｇ的可交換的極小正規子群。
按照（１）的方法可知ｓｏｃ（ｇ）是群ｇ的ｓｙｌｏｗ７ｒ一子群，或者是ｇ／ｓｏｃ（ｇ）是７ｒ一可解群，兩種情況都推出ｇ是７ｒ一可解群，矛盾。
後勤工程學院學報２０１１芷
定理３設ｐ是群ｇ的階的最大素因子，ｐ∈仃，則ｇ是７ｒ一可解群的充分必要條件是對ｙｍ∈ｃ （ｇ），有
叼證明必要性顯然，只需證充分ｌ生。設ｇ是滿足ｙｍ∈ｃ （ｇ），叼的最小階的非７ｒ一
可解群，顯然ｇ是非交換群且ｃ （ｇ）非空，否則ｇ是可解群，從而ｇ是７ｒ一可解群。若ｇ是單群，考慮條
件ｌ＜ｇ且［ｇ：ｌ］＝ｌ，若ｌ∈ｃ （ｇ），則叼與仃的選取矛盾，故是素數，從而ｏ（ｇ）ｌｒ！，矛盾，故ｇ不是單群。
若ｇ的極小正規子群不唯一，即設ⅳ ，ⅳ２是ｇ的兩個不同的正規子群，若ｐ整除則ｇ／ｎ ，ｇ／ⅳ２都是７ｒ一可解群，故也是仃一可解群，反之若ｐ不整除ｌｇ／ｎｉ（ｎ＝ｎ或ⅳ２），如果ｐ 是ⅳ的ｓｙｌｏｗ７ｒ一子群，由ｆｒａｔｔｉｎｉ推論得ｇ＝ｎ。（）ⅳ，若不正規於ｇ，擇選乙個含使：（）≤ｍ＜ｇ，則ｇ＝ｍｎ且ｉｇ：
ｍｉ＝１，若ｍ∈ｃ （ｇ），根據假設從而ｏ（ｎ）＝ｌ，矛盾。故可設［ｇ：ｌ］＝ｒ，ｒ是小於ｐ的素數，若則ｒ！
ｉｏ（ｇ），矛盾，故因
為故ｃｏｒｅ。（）的ｓｙｌｏｗ ７ｒ一子群就是ｇ的ｓｙｌｏｗ ７ｒ一子群，故
因此ｃｏｒｅｇ（）與ⅳ相互中心化，所以ｐⅳ正規於ｇ，故ｐ ＝ｎ，由定理知ｇ＝ⅳ ，是７ｒ一
補。從而ｇｉｎ，ｎ都是７ｒ一可解群，故ｇ是７ｒ一可解群。
若ⅳ是ｇ的唯一極小正規子群，若ⅳ≤ ＜ｇ且ｌｇ：ｍｉ＝１，則ⅳ≤（ｇ），由文獻［２］的定理２
知（ｇ）可解，從而ⅳ可解，故ｇ是７ｒ一可解群。可假設ⅳ不含在滿足條件ｍ＜ｇ且ｉｇ：ｍｌ＝１的極
大子群中，可以像上一段一樣分析［ｇ：ｍ］是合數，由假設故ｏ（ｎ）＝１，故ⅳ是
７ｒ，＿群，ｇ／ｎ是７ｒ一可解群，故ｇ是７ｒ一可解群。
參考文獻
［１］付詩祿，吳傳志，嚴尚安．有限群的正規指數［ｊ］．四川大學學報：自然科學版
［２］付詩祿，吳傳志，嚴尚安，等．ｆｒａｔｔｉｎｉ子群的推廣［ｊ］．四川大學學報：自然科學版
１１３—１１８．
１０４（編輯汪益川）
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