ｔｊ寸—一則教壯斷的反巴與改進
毒ｊ—＿＿兼諺鐮攻學中的具體到抽象．．＿
付超（重慶市黔江中學）
高中數學課程應努力揭示數學概念、法則、結論的發展過將「具體實物模型」轉化為「函式模型」，然後利用「函式模
程和本質，在學懂數學的過程中，除了經常用到邏輯思維以外，型」解決具體問題，從而對教學的有效性有極大的影響．重要的還有從具體現象到數學的一般抽象，以及將一般結論應用到具體情況的思維過程．筆者以聽課時聽到的一則典型案例（「零點存在性定理」）的教學片斷為例具體闡述．
一１．從「區域性」到「整體」的反思
零點存在性定理的目的是通過函式的零點來研究方程的根，進一步突出函式思想的應用，也為求方程的解的個數做好知識上和思想上的準備．它起著承上啟下的作用，教學中應突出這一點．第一，承上，應引導學生將具體的「實物形象」轉化為抽象的「函式圖象」；第二，啟下，應關注例題的教學，即將「求函
、教學片斷實錄
實驗設計：給學生一條直線和一根細線（如圖１），並記細線的兩個端點為ａ、日，讓學生動手．觀察在什麼情況下一定能夠保證一條細線和給定
的直線有交點？
圖１數零點的問題」與求「方程的近似解的問題」建立起關聯性整合．
２．從「內隱」到「外顯」的反恩
學生可以發現當點和點曰位於直線的兩側時，能夠滿足
教材不要求對零點存在性定理進行證明，關鍵在於讓學生
題意，而當點和點曰位於直線的同側時，有可能有交點，也通過感知體驗並加以確認．定理的條件和結論是學生學習的難有可能沒有交點，故不一定有交點．引導學生從數的角度來分點，因此學生的認識不能僅停留在實驗的操作層面和數的角度析，從而得到ｆ（ａ）廠（６）＜０的結論．
上，教師應提供「從內隱到外顯」的機會，設計「從內隱到外
教師繼續問：在剛才的情況下（點４和點日在直線的兩側顯」的通道．第一，在具體的「函式圖象」中得出零點存在的條
時）細線與給定直線已經有交點了，請問你能設計出方案使他件．定理的教學，應關注抽象的過程，即將「直線與細線的交們沒有交點嗎？
點」與「函式的零點」建立起關聯性整合，通過引導學生觀察
學生會有兩種方案：將點ａ和點曰移到直線的同側（進一函式圖象與軸的交點情況，來研究函式零點的情況．第二，引
步說明了ｆ（ａ）廠（６）＜０的必要性）；只要把細線剪斷即可（說明導學生從正面、反面、側面等不同的角度重新進行審視，如函
函式圖象必須是連續的）．
數圖象不連續、ｆ（ａ）廠且函式在區間上不單調、ｆ（ａ）廠（６）＜０且函式在區間上單調等各種情況，加深學生對
三、改進
通過上述**，讓學生自己概括出零點存在性定理．
設計意圖：因為ｆ（ａ）廠（ｂ）＜０且圖象在區間［ａ，ｂ］上連續不零點存在性定理的理解．
斷是函式ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上有零點的充分而非必要條件，學生對這點的理解比較困難，所以根據情況創設簡單明瞭的數學實
教學以「實驗操作」為基礎，輔之以「問題驅動」，通過類
驗，降低學生學習中的難點（抽象性），讓學生直觀感受到函式比分析將歸納方法與嚴密思考相結合，直觀與抽象相結合，使零點存在性定理各條件的作用，從實驗的解決中領悟定理的學生思維的發展是乙個清晰的「螺旋式上公升」的過程．可以構建本質．
二、反思
如下框架：「實驗設計，提出問題」一「模擬分析，得出結論」
一「引導觀察、闡述定理」一「定理應用、承上啟下」．
１．實驗設計，提出問題
上述教學片斷中，教師設計了乙個非常好的數學情境，為學生理解零點存在性定理做了很好的鋪墊，然而，教師並未真
給學生一條直線和一根細線，並記細線的兩個端點為 、．問題１：觀察在什麼樣的情況下能夠保證這條細線和給定的
正完成從「具體」到「抽象」的過程．可以發現，教學的情境創
設仍侷限在「知識點」的思考上，淡化了乙個重要的轉化，即直線：
５０［２０１０年第１—２期］中國數學教育……
（１）一定有交點；（２）不一定有交點；（３）沒有交點．
問題２：觀察圖２，這是某地
在１２月份幾天內的一張氣溫變化４＿
。（給出零點存在性定理．）３．引導觀察，闡述定理
問題４：若函式ｙ：＿廠（）在區間［ｎ，ｂ］上一定
｜。沒有零點嗎？
問題５：若函式ｙ：＿廠（）在區間［ｏ，ｂ］上只有
一模擬函式圖（即乙個連續函式圖。２ｄ
４：８個零點嗎？可能有幾個？
象）片斷，圖象中有一段被墨水汙
染了．問題時，增加什麼條件可確定ｙ＝ （）在區間［ａ，ｂ］上只有乙個零點？結合，一ｘ４＋一一的圖象說明
問題．４．定理應用，承上啟下●２
●＇（１）將４日到８日之間的函式－｜
√４圖象補充完整．
（２）現在有人想了解一下４日
圖２例求函式一６的零點的個數．
你能幫他嗎？至８日之間是否有某天的溫度為ｏ￣ｃ，
２．模擬分析，得出結論
問題７：能否確定乙個區間使函式在該區間上有零點．生：用「試值法」，發現因此區間ｆ２，３）上（教師補充「圖象法」，如圖３．）問題８：該函式有幾個零點？為什麼？
一問題３：問題１和問題２有什麼共同的地方？能具體解釋有零點．嗎？ｙ
—生：兩者很相似．將直線看做軸，將細線看做函式圖象，那麼直線和細線的交點的橫座標就是函式的零點．
師：很好，直線給了我們軸的印象，細線給了我們函式
ｌｌ０／、
圖３生：乙個．因為，＇（）：ｉｎ 是增
圖象的印象，直線和細線的交點給了我們函式零點的印象．那麼函式，ｆ（）＝２ｘ一６是增函式，所以「某時刻的溫度為ｏ￣ｃ」的問題，就可以看做是求什麼？
生：求函式零點的問題．
師：結合實物操作和你所畫的圖象，再進一步思考函式存
廠（）＝ｉｎ ＋２ｘ一６在區間（２，３）內單調遞增．
－１一、ｒ
問題９：剛才問題３中有同學提出了乙個好問題，我們一起看看，函式在區問［４，８］上的零點可能有兩個嗎？
生：要具體問題具體分析．假如此時函式是單調遞增函式，
在零點需滿足什麼條件？
生：區間兩個端點的函式值應異號．師：能結合問題說明嗎？
細線看做函式圖象，ａ、曰兩點的函式值為一正一負，此時細線
則零點為乙個；假如函式不是單調遞增函式，則零點可能為
數學是思維的體操．源於抽象性是數學的特徵之一，教學在
生：當點和點ｂ在直線的兩側時，將直線看作軸，將多個．和直線一定有交點．
義的理解，其他同學有補充的嗎？
表達上需要確切，結論的正確性只能靠邏輯的演繹證明，然而生動的現實原型．這一點給筆者在「零點存在性定理」的教學中知識的發生、發展過程，從具體到抽象，再把清晰．陛、可靠性、精確性聯絡在一起，逐步引導學生感受數學知識的形成過程，
師：很好，你觀察得非常仔細，更可貴的是你對零點的定任何抽象的數學概念、命題，甚至數學思想和方法都有具體、
生：我認為還應滿足乙個條件，函式在給定的區間上應該提供了啟發，根據學生的數學思維水平和認識規律，以及數學
是連續不斷的．
師：能說明理由嗎？
生：如圖２，函式在區間［４，８］上的兩個端點的值已互為異歸納已知事實形成抽象數學定理，理解定理內容．號，若中間部分不定義，就不會有零點．
師：也就是說，我們還應該考慮乙個問題，即不是連續函式結論不成立．
ｆ結合ｙ＝＋２的圖象說明．１、／師：還有補充嗎？
生：我覺得函式在區間［４，８］上的零點可以有兩個．
師：不錯，提出了乙個很好的問題，但這是另外乙個問題了，我們可以先放一下，待會兒解決，還有其他補充嗎？
師：也就是說，函式要有零點，有兩個條件缺一不可：（１）函式圖象是連續的
中國數學教育［２０１０年第１—２期ｊ５１
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