不等式及其性質
【學習目標】
1．了解不等式的意義，認識不等式和等式都刻畫了現實世界中的數量關係.
2. 理解不等式的三條基本性質，並會簡單應用.
【要點梳理】
要點一、不等式的概念
一般地，用或「≥」表示大小關係的式子，叫做不等式．用「≠」表示不等關係的式子也是不等式．
要點詮釋：
(1)不等號「＜」或「＞」表示不等關係，它們具有方向性，不等號的開口所對的數較大．
(2)五種不等號的讀法及其意義：
(3)有些不等式中不含未知數，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知數，如2x＞5中，x表示未知數，對於含有未知數的不等式，當未知數取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關係，我們說不等式成立，否則，不等式不成立．
要點二、不等式的基本性質
不等式的基本性質1：不等式兩邊加(或減)同乙個數(或式子)，不等號的方向不變．
用式子表示：如果a＞b，那麼a±c＞b±c
不等式的基本性質2：不等式兩邊都乘(或除以)同乙個正數，不等號的方向不變．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那麼ac＞bc(或)．
不等式的基本性質3：不等式兩邊乘(或除以)同乙個負數，不等號的方向改變．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那麼ac＜bc(或)．
要點詮釋：
對不等式的基本性質的理解應注意以下幾點：
(1)不等式的基本性質是對不等式變形的重要依據，是學習不等式的基礎，它與等式的兩條性質既有聯絡，又有區別，注意總結、比較、體會．
(2)運用不等式的性質對不等式進行變形時，要特別注意性質2和性質3的區別，在乘(或除以)同乙個數時，必須先弄清這個數是正數還是負數，如果是負數，不等號的方向要改變．
【典型例題】
型別一、不等式的概念
1．用不等式表示：
(1)x與-3的和是負數；
(2)x與5的和的28％不大於-6;
(3)m除以4的商加上3至多為5．
舉一反三：
【變式】的值一定是（ ）．
a.大於零 b.小於零 c.不大於零 d. 不小於零
2.下列敘述：①a是非負數則a≥0；②「a2減去10不大於2」可表示為a2-10＜2；③「x的倒數超過10」可表示為＞10；④「a，b兩數的平方和為正數」可表示為a2+b2＞0．其中正確的個數是（ ）.
a.1個 b.2個 c.3個 d. 4個
型別二、不等式的基本性質
3.判斷以下各題的結論是否正確（對的打「√」，錯的打「×」）．
（1）若 b﹣3a＜0，則b＜3a；
（2）如果﹣5x＞20，那麼x＞﹣4；
（3）若a＞b，則 ac2＞bc2；
（4）若ac2＞bc2，則a＞b；
（5）若a＞b，則 a（c2+1）＞b（c2+1）．
（6）若a＞b＞0，則＜． ．
4.（2017青浦區一模）已知a＞b，下列關係式中一定正確的是（ ）
a．a2＜b2 b．2a＜2b c．a+2＜b+2 d．﹣a＜﹣b
舉一反三：
【變式】根據不等式的基本性質，將「mx＜3」變形為「x＞」，則m的取值範圍是 ．
【鞏固練習】
一、選擇題
1. （2016春北京期末）在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（ ）
a．2個 b．3個 c．4個 d．5個
2．下列不等式表示正確的是( ).
a．a不是負數表示為a＞0b．x不大於5可表示為x＞5
c．x與1的和是非負數可表示為x+1＞0 d．m與4的差是負數可表示為m-4＜0
3.式子「①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≥1；⑤x＜0」屬於不等式的有（ ）
a．2個 b．3個 c．4個 d．5個
4．已知a＜b，則下列不等式一定成立的是( )
a．a+3＞b+3 b．2a＞2b c．-a＜-b d．a-b＜0
5．若圖示的兩架天平都保持平衡，則對a、b、c三種物體的重量判斷正確的是（ ）.
>c 6．下列變形中，錯誤的是（ ）.
a．若3a+5＞2，則3a＞2-5 b．若，則
c．若，則x＞-5 d．若，則
二、填空題
7．（2016秋太倉市校級期末）如果a＜b，則﹣3a ﹣3b（用「＞」或「＜」填空）．
8．用不等式表示「x與a的平方差不是正數」為
9．在-l，，0，，2中，能使不等式5x＞3x+3成立的x的值是是不等式-x＞0的解．
10．假設a＞b，請用「＞」或「＜」填空
(1)a-1________b-1； (2)2a______2b；
(34)a+l________b+1．
11．已知a＞b，且c≠0，用「＞」或「＜」填空．
(1)2a________a+b (2)_______
(3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c|
12. k的值大於-1且不大於3，則用不等式表示k的取值範圍是_______．（使用形如a≤x≤b的類似式子填空．）
三、解答題
13．現有不等式的性質：
①在不等式的兩邊都加上（或減去）同乙個整式，不等號的方向不變；
②在不等式的兩邊都乘以同乙個數（或整式），乘的數（或整式）為正時不等號的方向不變，乘的數（或整式）為負時不等式的方向改變．
請解決以下兩個問題：
（1）利用性質①比較2a與a的大小（a≠0）；
（2）利用性質②比較2a與a的大小（a≠0）．
14.①當a=3，b=5時用不等式表示a2+b2與2ab的大小是_______；
②當a=-3，b=5時用不等式表示a2+b2與2ab的大小是
③當a=1，b=1時用不等式表示a2+b2與2ab的大小是________；
④根據上述數學實驗你猜想a2+b2與2ab的大小關係_______；
⑤用a、b的其他值檢驗你的猜想______．
15．已知x＜y，比較下列各對數的大小．
(1)8x-3和8y-3； (2)和； (3) x-2和y-1．
【答案與解析】
一、選擇題
1. 【答案】c；
【解析】解：﹣3＜0是不等式，x≥2是不等式，x=a是等式，x2﹣2x是代數式，x≠3是不等式，x+1＞y是不等式．不等式共有4個．故選c.
2. 【答案】d；
【解析】a不是負數應表示為a≥0，故a錯誤； x不大於5應表示為x≤5，故b錯誤；
x與1的和是非負數應表示為x+1≥0，故c錯誤； m與4的差是負數應表示為m-4＜0，故d正確。
3.【答案】b.
4.【答案】d；
【解析】從不等式a＜b入手，由不等式的性質1，不等式a＜b的兩邊都加上3後，不等號的方向不變，得a+3＜b+3，故選項a不成立；由不等式的性質2，不等式a＜b的兩邊都乘以2後，不等號的方向不變，得2a＜2b，故選項b不成立；由不等式的性質3，不等式a＜b的兩邊都乘以-1後，不等號的方向改變，得-a＞-b，故選項c也不成立；由不等式的性質1，不等式a＜b的兩邊都減去b後，不等號的方向不變，得a-b＜0．故應選d．
5.【答案】a.
6.【答案】b；
【解析】b錯誤，應改為：，兩邊同除以，可得：。
二、填空題
7. 【答案】＞.
【解析】在a＜b的兩邊同時乘以﹣3，得：﹣3a＞﹣3b，兩邊同時加上，得：﹣3a＞﹣3b．故答案為：＞．
8.【答案】x2﹣a2≤0；
9.【答案】2；-1、
【解析】一一代入驗證.
10．【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4) ＞；
11.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜；
【解析】利用不等式的性質進行判斷。
12.【答案】-1＜k≤3．
三、解答題
13.【解析】
解：（1）a＞0時，a+a＞a+0，即2a＞a，
a＜0時，a+a＜a+0，即2a＜a；
（2）a＞0時，2＞1，得2a＞1a，即2a＞a；
a＜0時，2＞1，得2a＜1a，即2a＜a．
14.【解析】
解：①當a=3，b=5時，
a2+b2=34，2ab=30，
∵34＞30，
∴a2+b2＞2ab；
②當a=-3，b=5時，
a2+b2=34，2ab=-30，
∵34＞-30，
∴a2+b2＞2ab；
③當a=1，b=1時
a2+b2=2，2ab=2，
∵1=1，
∴a2+b2=2ab；
④綜合①②③得出結論：a2+b2≥2ab（a=b時，取「=」）．
證明：∵（a-b）2≥0（a=b時，取「=」），
∴a2+b2-2ab≥0，
∴a2+b2≥2ab．
⑤設a=2，b=2，則a2+b2=2ab=8，上述結論正確；
設a=5，b=3，則a2+b2=34，2ab=30，所以a2+b2＞2ab，
綜上所述，a2+b2≥2ab（a=b≠0時，取「=」）正確．
15.【解析】
解： (1)∵ x＜y ∴ 8x＜8y， ∴ 8x-3＜8y-3．
(2)∵ x＜y，∴ ，
(3)∵ x＜y，∴ x-2＜y-2，而y-2＜y-1，
x-2＜y-1．
七年級下冊不等式性質說課稿
七年級下冊數學 9.1.2不等式的性質 說課稿 9.1.2 不等式的性質 說課稿 本節課的內容是 不等式的性質 第1課時，課題選自人教版 義務教育課程標準實驗教科書數學 七年級下冊 我將從教學目標的設定 教學重點 難點的分析 教學方式與手段的選擇及教學過程的設計幾方面來闡述我對本節課的教學設計 一 ...
七年級數學下冊9 1《不等式的性質 2 》課案 學生用
課案 學生用 9.1不等式的性質 2 新授課 學習目標 1 知識技能 1 理解不等式的性質。2 會解簡單的一元一次不等式，並能在數軸上表示出解集。2 解決問題 1 通過經歷不等式性質的得出過程，積累數學活動經驗。2 通過分組活動，探索不等式的性質，體會在解決問題過程中與他人合作的重要性。3 數學思考...
七年級數學 第九章不等式與不等式組 六 不等式組的解法
七年級數學 第九章不等式與不等式組 六 不等式組的解法2第周星期班別姓名學號 學習目標 熟練掌握一元一次不等式組的解法，並會把解集在數軸上表示出來。學習環節 環節一複習回顧 1 填表 2 求下列不等式組的解集，並在數軸上表示出來 12 解 由 得 由 得 不等式組的解集是不等式組的解集是 環節二探索...