數學試題（理科）
一、選擇題: 本大題共10小題, 每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的。
1.在復平面內,複數對應的點位於 （ ）
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限
2.設是兩條異面直線,下列命題中正確的是 ( )
a．過且與平行的平面有且只有乙個
b．過且與垂直的平面有且只有乙個
c．與所成的角的範圍是
d．過空間一點與、均平行的的平面有且只有乙個
3.已知函式在其定義域上單調遞減，則函式的單調增區間是( )
a. b. c. d.
4．可看作成（ ）
a．半徑為3的圓的面積的二分之一
b．半徑為的圓的面積的二分之一
c．半徑為3的圓的面積的四分之一
d．半徑為的圓的面積的四分之一
5. 右圖是乙個幾何體的三檢視，其中正檢視和側檢視都是乙個兩底長分別為2和4，腰長為4的等腰梯形，則該幾何體的側面積是（ ）
ab． cd．
6．已知，ab，bc分別是的等差中項與等比中項，則的面積等於（ ）
a． b． c． d．
7．已知是所在平面內一點，，現將一粒紅豆隨機撒在內，則紅豆落在內的概率是（ ）
a． b． c． d．
8.數列滿足，，，則的大小關係為（ ）
（a） （b） （c） （d）大小關係不確定
9. 已知二面角的平面角為,為垂足,pa=5,pb=4,點a、b到稜的距離分別為，當變化時,點的軌跡是下列圖形中的（ )
10,已知函式，函式，關於的零點，下列判斷不正確的是（ ）
a)當時,有乙個零點
b)當時,有2個零點
c)當時,有3個零點
d)當時,有4個零點
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11.若函式的圖象在處的切線方程是，則 .
12．乙個幾何體的三檢視及其尺寸如下圖所示，其中正（主）檢視是直角三角形，側（左）檢視是半圓，俯檢視是等腰三角形，則這個幾何體的體積是cm3。
13.已知實數滿足，目標函式的最小值和最大值分別為和，則的值為 ．
14，已知為正實數，且，求的最小值此時
15,在直角座標系中，直線的引數方程為（為引數），在極座標系（直角座標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為。設圓與直線交於點。若點的座標為（3，），求
三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16.(本小題滿分12分）設的內角所對的邊長分別為，且．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的最大值，並判斷當取最大值時的形狀．
17．（本小題12分）某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量(單位：千克)與銷售**(單位：元/千克)滿足關係式，其中，為常數，已知銷售**為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．
(1) 求的值；
(2) 若該商品的成本為3元/千克, 試確定銷售**的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
18.(本小題滿分12分)如圖，是邊長為的正方形，平面，，，與平面所成角為.
(ⅰ)求證：平面；
(ⅱ)求二面角的余弦值；
（ⅲ）設點是線段上乙個動點，試確定點的位置，使得
平面，並證明你的結論.
19(本小題滿分12分)如果乙個數列的各項都是實數，且從第二項起，每一項與它的前一項的平方差是同乙個常數，則稱該數列為等方差數列，這個常數叫這個數列的公方差．
（ⅰ）若數列既是等方差數列，又是等差數列，求證：該數列是常數列；
（ⅱ）已知數列是首項為，公方差為的等方差數列，數列的前項和為，且滿足．若不等式對恆成立，求的取值範圍．
20．(本小題滿分13分)已知中心在原點，焦點在座標軸上的橢圓，它的離心率為，乙個焦點和拋物線的焦點重合,過直線上一點引橢圓的兩條切線，切點分別是.
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）判斷直線是否恆過定點；若是，求定點的座標.若不是，請說明理由。
21. (本小題滿分14分)已知函式
（i）若為的極值點，求實數的值；
（ii）若在上為增函式，求實數的取值範圍；
（iii）當時，方程有實根，求實數的最大值.
公安三中2013屆高三元月考試數學試題（理科）答案
一、選擇題:dadbb,dcccd
二、填空題:11)3 ,12),13)2 , 14)36 , 15)
三、解答題16.解：（1）由可得
……………………4分
（2）設，則且
10分此時，故，
△abc為直角三角形12分
17、解：(1)因為時，所以，故；……5分
(2)由(1)知該商品每日的銷售量，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤：；……… 8分
，令，得，
函式在上遞增，在上遞減，所以當時函式取得最大值．
答：當銷售**時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42元.
18.(本小題滿分12分)
解：(ⅰ)證明： 因為平面，所以.
因為是正方形，所以，
從而平面4分）
(ⅱ)解：因為兩兩垂直，
所以建立空間直角座標系如圖所示.
因為與平面所成角為，
即， 所以.
由，可知，.
則，，，
，，所以，.
設平面的法向量為，則
，即.令，則.
因為平面，所以為平面的法向量，.
所以.因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為8分
(ⅲ)解：點是線段上乙個動點，設.
則.因為平面，
所以，即，解得.
此時，點座標為，
即當時，平面……………（12分）
19（1）解：依題
又為等差數列，設公差為，
則故是常數列4分
（2）由是首項為2，公方差為2的等方差數列.
即為首項為4，公差為2的的等差數列6分
由得10分不等式即
也即，即恆成立
由於時，；時，；
假設時，，
那麼，由歸納法原理知：時，，
所以，故的取值範圍為12分
20. 解：（i）設橢圓方程為。拋物線的焦點是，故，又，所以，
所以所求的橢圓方程為 ………5分
（ii）設切點座標為, ,直線上一點m的座標。則切線方程分別為，。又兩切線均過點m，即，即點a,b的座標都適合方程，而兩點之間確定唯一的一條直線，故直線ab的方程是，顯然對任意實數t，點（1,0）都適合這個方程，故直線ab恆過定點。
………13分
21，解：（i）
因為為的極值點，所以，即，解得。……2分
（ii）因為函式在上為增函式，所以
在上恆成立。…4分
當時，在上恆成立，所以在上為增函式，故符合題意
當時，由函式的定義域可知，必須有對恆成立，故只能，所以在上恆成立。 ………6分
令函式，其對稱軸為，因為，所以，要使在上恆成立，只要即可，即，所以。因為，所以。
綜上所述，a的取值範圍為。………8分
（ⅲ）當時，方程可化為。
問題轉化為在上有解，即求函式的值域。
因為函式，令函式…12分
則，所以當時，，從而函式在上為增函式，
當時，，從而函式在上為減函式，
因此。而，所以，因此當時，
b取得最大值014分
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