安徽省潛山野寨中學江庭
摘要： mathematical methodology(簡稱mm教學方式)是以數學教育方法為基本原則， 根據學生身心發展規律和學習規律，促使教學過程、學習過程和研究過程同步協調發展的一種教育方式．本文主要研究mm教育方式的理論基礎，基本原則，具體目標，操作變數，mm教學模式的發展，如tec教學模式、案例研究等．
關鍵詞：mm教學方式；tec教學方式；操作變數；案例研究
一．mm教學方式的發展
自20世紀80年代以來，在我國數學教育改革的浪潮中，新的數學教學法如雨後春筍，但大浪淘沙，多少「實驗」被淘汰，又有多少「教學法」銷聲匿跡．在這適者生存的嚴酷競爭中「mm教育方式」居然生存了下來，而且得到了蓬勃發展！由中學發展到小學、職校和高師；由無錫推廣到全國；實驗班由幾十個發展到二千多個，光新疆各地州市，就有四百多位老師在八百多個教學班進行mm 實驗．不僅如此，「mm教育方式」還傳播到海外．mm 實驗的設計者徐瀝泉於2004 年7月，應國際數學教育委員會秘書長、加拿大數學家、加拿大數學會副會長bernard r．hodgson（伯納德霍奇森）教授和秘書處的邀請出席了在丹麥首都哥本哈根召開的第十屆國際數學教育大會（簡稱icme-10），並在大會上作了以「mm」教育方式簡介，一種嶄新的數學教學方式」（briefing on mm education way，a new way of mathematics teaching）為題的報告，介紹了「mm」教育方式（見www．icme-10 tsg14）．作為mm 實驗的研究成果，他們迄今已發表有關**兩百餘篇；2023年，香港新聞出版社出版了由楊世明、周春荔、徐瀝泉、王光明、郭璋5位老師合著的《mm教育方式：理論與實踐》[1]，2023年由科學出版社出版的徐瀝泉著的《教學研究發現——mm方式演繹》[2]於2023年12月獲江蘇省第九屆哲學社會科學優秀成果三等獎．王梓坤教授、徐利治教授等在「全國數學方**和數學教育會議」上安排mm課題組作大會報告，向專家和同行介紹、推廣他們的工作．如今看到無錫的老師把數學方**成功地應到數學教學中去，並取得可喜的成績，感到歡欣鼓舞．隨著mm實驗範圍的擴大，廣大實驗教師要求交流教學經驗和研究成果，數學方**本身也有待於在應用中總結和提高．在這種情況下，無錫等地從事數學教育的一些老師認為，有必要及時成立數學科學方**研究交流中心，使數學方**的理論研究和應用研究深入去．他們的想法得到正在江、浙講學的徐利治教授的支援．2023年12月13日在中國自然辯證法研究會秘書長辦公室召開由王國政、王梓坤、林夏水、徐利治、劉慶生參加的審議會．經研究後，同意在無錫市成立「數學科學方**研究交流中心」作為數學哲學委員會的下屬學術機構2023年8月在無錫舉行「數學科學方**研究交流中心成立大會暨授牌儀式」．江蘇省教育廳副廳長許仲梓教授代表省教育廳專程從南京去無錫，向大會表示祝賀，並在會上發表了熱情洋溢的講話．數學哲學委員會主任王梓坤院士在大會上正式宣布在無錫市成立「數學科學方**研究交流中心」，並授予牌匾．這樣，每兩年組織一次「數學方**與數學教育研討會」已經成為數學科學方**研究交流中心的一項主要工作，為各地推廣「mm教育方式」和有志於研究數學方**及其應用的老師提供了乙個交流、研討的平台，「mm教育方式」得到了進一步完善和發展．
二．mm教學方式的理論基礎
素質教育理念一直強調要使學生生動、活潑、主動地得到發展，但在教育實踐上，「教師講，學生聽」，「教師問，學生答」，甚至一言堂、滿堂灌的課堂教學模式很大程度上制約了素質教育功能的發揮．目前的中小學課堂大都處於這種局面，在教學中普遍存在著重視完成知識目標，而忽視情感、意志、觀念及良好的個性品質的培養，把課堂上的學生當成了被動接受知識的容器，而忽視了學生是乙個主動發展的生命體，更談不上培養學生創造性思維能力和創新精神．其結果是：數學課堂教學效益低，教學脫離實際，學生應用能力差，各方面發展不平衡，學習興趣下降；教師終日忙碌不已，還不斷感嘆：「我都講了好幾遍了，還不會做，現在的學生真沒法教……」．這樣就陷人了教師厭教，學生厭學的尷尬局面．我們在素質教育理論指導下，通過學習與調查分析認識到：
我們必須改變課堂模式，把我們的數學課堂變為學生自主地、深層次參與，關鍵是思維活動上參與教學全過程，呈現出師生「互動」的激烈競爭的新型課堂．
「mm教育方式」全稱是「貫徹數學方**的教育方式，全面提高學生的素質」．它是1989 年江蘇省無錫市教科所的特級教師徐瀝泉先生設計，在進行了五年三輪實驗取得成效後，於2023年通過了以王樟坤院士為首的專家組的鑑定而產生的數學方**教育方式：在數學教學中，教師遵循數學本身的發現、發明與創新等規律，遵循學生身心發展和認知的規律，力求使教學、研究和學習同步協調發展，並引導學生不斷地自我增進一般科學素養和社會文化修養，形成和發數學品質，全面提高學生素質．「mm教育方式」要求教師在數學教學的全過程(教學設計、課堂教學、輔導及課外活動)中，要充分發揮數學教育的兩個功能(技術教育功能和文化教育功能)，自覺地遵循兩條基本原則(教學、學習、發現同步協調發展和既教證明，又教猜想的原則)，瞄準三個具體目標(提高一般科學素養，增進社會主義文化修養，形成和發展數學品質)，恰當地操作八個變數(數學的反樸歸真教育，數學的審美教育，數學發展法教育，數學家優秀品質教育，數學史誌教育，演繹推理的教學，合情推理教學和一般解題方法的教學)，從而達到全面提高學生素質的目的．
三．兩條基本原則
高斯說：「若無某種大膽放肆的猜想，一般是不可能有知識的進展．」事實上，數學及其他科學的發展的淵源之一就是猜想的假設．數學課中教師要經常創設情境讓學生對問題的條件與結論、拓展的走向、解法的思路等作出猜想，引導學生在充分理解題意的基礎上敢於打破常識，標新立異，從而培養學生自覺的獨創意識．
例1：已知數列{}滿足，,求證：對一切，均為整數．
解析：大多數學生很快可以算出，但對怎樣證明束手無策，怎麼辦呢?
觀察已知等式，鼓勵學生猜測的表示式，這時學生提出：設然後用待定係數法求得．因此，再用數學歸納法證明此等式成立．這符合mm教育方式中既教證明，又教猜想的原則．
蘇步青說過：「看書要看到底，書要看透，要看到書背面的東西．」這背面的東西就是數學思想方法．「mm教學方式」改變了過去教學中學生被動學習的局面，整個教學過程融入研究發現的主旋律之中，把教學、學習、發現融為一體，在數學教學過程中，教師遵循數學本身的發現、發明、創新等規律，遵循學生的身心發展和認知規律，引導學生在學習中發現數學問題，掌握數學思想方法．遵循教學·學習·發現同步協調原則．
四．三個具體目標
「mm教學方式」注重了學法指導，現代數學教學論認為：數學教學是數學活動過程的教學，在教學中，學生要靠他們主動地思維去獲取．在貫徹「mm教育方式」下的「mm數學課堂」中，引導學生思維參與教學全過程，學生在實踐中能學會數學的思維方法，學會分析問題、解決問題．教學中我們注重解題前的題設解剖，解題思維，問題思維，解題後的思維策略，提高學生元認知水平．特別是注重數學中觀察、分析、綜合、抽象、概括、模擬、猜想、歸納、演繹能力的培養，從而達到培養學生數形結合，分類討論、轉化等數學思想和辯證唯物主義思想．只要學生學會了按數學的思維思考問題，就學會學數學了．
「mm教學方式」需要營造和諧數學學習環境，激發學生學習動力機制．「mm教學方式」在教學設計中注重從知識內涵的角度吸引學生參與發現、思考和探索．但課堂是乙個幾十位學生的群體，因此要真正達到「互動」，實現平等交流，必然營造乙個和諧的數學學習環境，包括學生學習外部環境和內部環境．外部環境主要體現為良好的師生人際關係，內部環境主要體現在學生樂觀向上的情緒上．教師應該通過了解和研究學生，建立乙個具有新型課堂人際關係，競爭激烈的學習群體外境，維護學生樂觀向上的心理內部環境；交融於生動的數學教學過程中採用積極評價方式，組織多種形式討論、交流活動，讓每一位學生感受成功，從而激發學生學習興趣和自信心．這樣就引導了學生自我增進一般科學素養、提高社會文化素養、形成和發展數學品質．
五．八個操作變數
「mm教學方式」需要恰當地操作八個變數，全面提高學生素質，這八個變數即教學舉措：數學返璞歸真教育，數美教育，數學發現發教育，數學家優秀品質教育，數學史誌教育，演繹推理，合情推理和一般解題方法的教學．我們在這裡重點研究數學返璞歸真教育，數學發現法教育，演繹推理，合情推理和一般解題方法的教學．
例如立體幾何入門教學，立體幾何入門有兩個難點：一是建立空間概念困難，面對立體幾何問題，畫不出空間圖形來，或者面對圖形，找不到其中的線面位置關係；二是立體幾何語言表述困難，表達不清，順序顛倒，內容遺漏，條件不足，出言無據，望圖生義．分析了以上難點，在立體幾何入門教學中，教師應做到以下五點：
1.兩個「學會」：學會在身邊找立體幾何位置關係，在生活中學習立體幾何，學會動手做立體幾何模型，自己動手，自己觀察，自己研究，自己發現．
2.兩個「凡是」：凡是紙上寫的，就要求學生一字不差地說出來，並把規範的圖形畫出來，凡是公理、定義、定理，就應做到「三對照」：圖形語言、文字語言、符號語言對照翻譯．
3.兩個「貫徹」：一是貫徹幾推一的「證明節」，二是貫徹證明16字決：「始於已知，條件充分，銜接適當，言必有據」，其中核心是「言必有據」．
4.畫出小圖：對每乙個定義、定理分別畫出與它對照的「基本小圖結構」．這樣，整個立體幾何線面關係便形成了公理結構、平行結構、垂直結構、射影結構這4大結構系統，共22個基本小圖，再加上3種空間結構，共26個基本小圖結構．用這26個基本小圖結構串聯立體幾何思路，歸納立體幾何知識，形成以圖思考、以圖交流，形成老師對著圖形問題，以小圖講大圖的方式來組織教學．
5.多問為何：在立體幾何小問題上做文章，多追究幾個「為什麼」、「你根據什麼」，在追問中延伸，讓學生在立體幾何小題中形成規範的幾何表述．
對照「mm」操作變數，上面的五條措施，有返璞歸真教育，數學發現法教育，演繹推理，合情推理和一般解題方法教學．
六．tec教學模式
十幾年來，各地mm實驗的老師不是教條式地套用mm教育模式，而是結合本地區、本學校的具體情況靈活運用，並在運用中發現問題、解決問題，使「mm教育方式」得到完善和發展．例如，有的地區的教研員從不同角度構造mm實驗的子課題或姊妹課題，豐富了mm教育方式的內涵．特別是新疆的吳勤文老師，總結多年mm實驗的經驗，借鑑新的數學教育理論和研究成果，根據新疆的具體情況；大膽地簡化了mm實驗的可控變數，突出了數學思想方法，把蘊含在mm 實驗的8個可控變數中的情感教育和合作教學凸現出來，初步形成新的數學教學思想：貫穿數學思想、數學情感教育的合作教學模式（取思想（thought）、情感（emotion）、合作（co-operation）3個英文名詞第乙個字母，簡稱tec教學方式）．我們把tec教學方式界定為：在數學教學過程中，教師遵循以人為本、數學化與再創造、必要性與有效性三項基本原則，注重滲透數學思想、進**感教育，實施合作教學，從而促進學生全面發展的教學方式，稱為tec教學方式（或tec教學）．
七．mm教學方式案例研究
1．在提高學生總體能力的關健問題上捨的花大力氣．比如函式、方程、不等式及其關係是高中數學的重要內容，其蘊含的數學思想、方法貫串整個高中教學的始終．剛入高一的新生，會解簡單的方程、不等式，會畫簡單函式影象，但不會利用函式解方程、不等式，更談不上了解它們間的關係．函式思想、方程思想、數形結合的思想，不從知道，更談不上應用．這樣，我的高一數學教學就從初中的一元一次函式及一元二次函式的定義影象入手，引導學生通過觀察影象求程、不等式的解，總結它們之間地關係．在這個基礎上，通過改變自變數χ的範圍、給自變數χ加絕對值、給整個解析式絕對值等變式練習拓展學生的思維，欣賞數與形的魅力及數學中蘊含的辯證唯物主義哲學思想．
2．依照各單元特徵做好單元統籌．實踐證明，只要抓住數學各單元的學科特徵，就可以有針對性的統籌．就可以在緊張的高中學習中給「mm方式」的教學乙個自由的空間，而當學生的數學品質得到發展，學習數學的興趣和能力得到培養的時候，這種學習的內驅力不是題海戰術所能比擬的．例如，在學習兩角和差三角函式時，我沒有一節節講，而是從三角函式定義入手，編排了一組問題，在解決問題的過程中，學生掌握了兩角和差、倍角、半形、誘導公式的推導及公式間的相互聯絡，明確了公式的變形及和角、差角、倍角、半形的相對性，讓學生體驗到三角函式貌似繁雜的運算外殼內，到處蘊含著數學簡潔美、和諧美、對稱美．讓學生在親身體驗中打消了對運算的恐懼心理．
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