摘要：本文目的是展現撞擊分析的總體回顧和此領域內的一些重要方法。
1 撞擊理論的模型
含動能約束的多體系統的動態分析是已經完善的力學分支。為了建立數學模型，物體都被假設成為剛性，且鉸接處認為不含間隙。
撞擊問題吸引著從天體物理學到機械人學等不同學科領域學者的注意力。他們的共同目標是發展能夠**撞擊物行為的理論。本文主要集中於與剛體有關的撞擊模型。
撞擊理論的演化主要含有四個方面：經典力學、彈性應力波傳播、接觸力學和塑性變形。不同的撞擊理論適用於不同撞擊特性（速度和材料性質）、假設和相關結論。
（1） 經典力學
包含應用基本力學定理來**撞擊後的速度。脈衝－動量定理構成這種方法的核心。goldsmith在著作[1]中用了一章的篇幅介紹了這種方法在幾個問題中的應用。
brach[2]在模擬幾個具有實用價值的問題時一律採用了此法。這種方法具有簡便和易於實現的特點。實際問題中的能量損失是通過恢復係數實現的。
然而，此法不能預報物體之間的接觸力和物體的應力。
（2）彈性應力波傳播
撞擊通過以撞擊點為起點，應力波在撞擊物之間的傳播描述。總能量中的一部分轉化為振動，這樣，經典理論就無法驗證這種理論。goldsmith把這種方法應用於如下問題中：
兩桿的縱向碰撞、質點和杆碰撞、粘彈性對碰撞的影響等。zukas等[3]也廣泛地應用了這一方法。波傳播法用來研究細長杆的縱向碰撞問題。
近年文獻[4,5]使用符合運算軟體給出兩類典型問題：質點杆撞擊和杆撞擊地面問題的符合表示式解。文獻研究了[6]平面波在含空洞材料中的傳播與考慮徑向剪力和慣性力時波在圓柱形桿中傳播具有模擬關係。
文獻[7]於不對稱粘彈性杆在頻域的波傳播解，給出了理論和實驗分析。
（3）接觸力學
兩個物體撞擊產生的接觸應力是碰撞研究中的另乙個研究熱點。常規接觸力學主要與靜態接觸有關，儘管此法在涉及撞擊時已經延伸至近似解。對於球形接觸面，hertz理論常被用於撞擊關係的獲得，從而計算撞擊時間和最大變形。
此方法還被用於含塑性變形的情況。通常假設材料有乙個屈服點。當hertz理論不適用時，也可使用屈服區模型。
撞擊力變形關係常通過增加乙個阻尼項來反映接觸區域的能量耗散，從而允許把接觸區作為乙個彈簧－阻尼系統的模型。
（4） 塑性變形
當塑性應變超過容許變形時，彈性波模型不再適用於分析撞擊問題。這類問題屬於高速撞擊問題，如發生**和侵徹時。goldsmith[1]提供了2種方法：
水動力學理論和塑性波傳播理論。水動力學理論中，假設物體密度發生變化，材料的狀態方程於密度、溫度的變化相關，同時利用了能量、動量和質量守恆定理。而塑性波傳播理論中，塑性區的材料認為是不可壓縮的。
同樣，與應變、應力、應變率有關的狀態方程假設與溫度無關。maugin[8]和lubliner[9]假設了脆性材料，荷載的載入是乙個長時間的過程。zukas[3]提供了分別使用應變相關和應變獨立理論的塑性波傳播理論。
文獻[10]考慮了梁與梁碰撞的問題，採用了質量－彈簧模型。梁之間的能量能夠很好地近似剛塑性解。
工程師常需要解答如下2個基本問題：（1）撞擊前後速度變化的關係。（2）撞擊點的碰撞力多少？
當恢復係數給定時，脈衝－動量定理方法能夠回答第乙個問題。但前面已經提到，此法不能確定撞擊力，即解決不了第二個問題。波傳播理論可以得到撞擊物內的應力，但動力分析中的積分比較複雜。
接觸力學方法把接觸區域作為彈簧－阻尼系統，使撞擊問題作為連續時間動力問題處理。塑性大應變理論在解決彈道學領域中的**、侵徹時最有效。但本文不涉及這方面中高速碰撞問題。
2 關於恢復係數的歷史與現狀
根據kozlov[11]，關於撞擊的首次研究可追溯道2023年，由wallis, wren和huygens進行。netwon後來於2023年在他的著作《mathematical foundations of natural philosophy》中參考了wren的工作。huygens的工作成果是推導出了動量守恆定理，從而成為撞擊理論的基礎。
這個理論的主要假設是認為物體是剛性的，因此撞擊持續時間為0。單獨使用動量守恆定理不足以確定撞擊後撞擊物和靶體各自的速度。因此初等撞擊理論考慮了兩種極限情況：
完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞。完全彈性碰撞指碰撞前後系統的動能守恆。而完全非彈性碰撞指撞擊後撞擊物和靶體連為一體共同運動，從而組合體的速度可以通過定理守恆定理確定。
然而，通常的撞擊既不是完全彈性碰撞，也不是完全非彈性碰撞。初始動能的損失是通過恢復係數e的引入（netwon提出這一觀點）來實現的。
v1f -v2f=-e(v1i-v2i)
其中下標1和2分別表示撞擊物和靶體，而i和f分別表示初始(initial)狀態和最終(final)狀態。e是個無量綱的係數，其值介於0和1之間，0對應於完全彈性狀態，1對應於完全非彈性狀態。恢復係數的乙個對能量損失的綜合概念，可包括不同的能量損失，如材料的粘彈性、接觸面的塑性變形和兩個物體之間的振動等。
恢復係數不是僅僅依賴於材料的一種固有屬性，它取決於撞擊物和靶體的材料、接觸面的幾何性質和撞擊速度[1，p.262]。近年來，文獻[12]使用能量法研究細長杆與光滑介面碰撞的恢復係數，提出了影響恢復係數的2個因素：
碰撞傾斜解和反映杆幾乎和材料性質的常數hr。使用恢復係數的優點在於數學表達上的簡潔性。姚文莉[13]使用波傳播理論分別提出質點與杆和梁碰撞的恢復係數的求法。
得到損失波動能量在質點－杆碰撞問題中所佔比例的數學表示式。brach在文獻[2]中廣泛使用了恢復係數來解決撞擊問題。brach還注意到恢復係數可取－1和0之間的數。
這表明在撞擊過程中損失了一些能量，但並不產生速度方向的改變。如侵徹物在穿過靶體時雖然降低了自身速度，但速度方向沒有改變。
若干文獻研究了撞擊物初始速度與恢復係數的關係。靶體是粘彈性材料時，提出如下觀點[14-16]：
e(v)=1－f(v1/5)
上式表明撞擊速率越大，恢復係數就會變低。也即撞擊物高速碰撞時，損失的能量更多。式（2）僅考慮粘彈性材料。
現實中，還有其他的因素需要考慮。高速碰撞時，彈性波傳播時的耗散及塑性變形消耗的能量需要考慮。而低速碰撞時的粘性力和重力顯得更加重要。
文獻[17]中利用恢復係數討論了粘彈性地基上的撞擊響應問題。
3 接觸力－變形模型
關於撞擊力初級理論的上述綜述基於完全剛體的簡化假設。撞擊物的實際情形是複雜的，並且撞擊持續時間決對大於0。更為接近實際的模型是採用連續時間動態模型。
這個方法的成功之處在於基於完善的數學模型。通常，接觸力－變形關係如下：
f=fc(δ)+fv(δ, dδ/dt)+fp(δ, dδ/dt)
fc是接觸力的彈性部分，fv是粘彈性阻尼部分，fp是由塑性變形導致的耗散部分。以下主要介紹接觸力的彈性部分。其中2023年hert關於半無限固體的彈性接觸工作具有重大意義。
johnson[18]對此理論做了很好的介紹，並於附錄中列舉了相關公式。hertz理論指出了應力在接觸區的分布，也給出計算法向應力和剪下應力在撞擊體內的分布。乙個很常用的結論是球體－球體接觸時的接觸力－變形關係[18]：
f=kδ3/2
其中 f 是撞擊物和靶體之間壓縮時的法向力，δ是兩個球體之間的縮排，也即兩個表面之間總的變形， k是取決於球體半徑和材料彈性常數的常數。
4 近年來的進展：
（1）柔性撞擊用子結構方法研究了剛性小球和均勻柔性杆的縱向碰撞及和均勻柔性梁的橫向碰撞問題，匯出了用模態座標表示的動力學方程。
（2）直接模態疊加法研究彈性撞擊問題邢譽峰等利用dmsm策略，討論了等截面杆、梁的碰撞問題[19-26]。文獻[26]指出：這種方法可以得到結構彈性碰撞問題的解析解；這種方法不但可以用來分析平動結構的碰撞問題[19-25]，還可以用來分析機構的各種彈性鎖定問題[22]；不但可以用來分析結構的點碰撞問題[19-20]，對結構的線、面接觸和碰撞等問題同樣有效[23]。
對於梁碰撞問題，文獻[24]進行了如下研究：考慮線彈性接觸變形的前提下,分別對質點、杆與簡支euler-bernoulli梁的垂直正撞問題進行了研究。文獻[25]基於不同梁理論：
euler梁、timoshenko梁和翹曲理論，比較了結構遭受衝擊的動態響應。
文獻中，如果用乙個假想的彈簧來模擬兩個結構相碰處的接觸剛度，並通過該彈簧把撞擊體和靶體聯絡成乙個組合振動體系，就可把結構碰撞分析轉化為常規的結構振動響應分析問題，即是該組合振動體系在其撞擊部分具有給定初始速度模式下的振動響應問題。因此可以方便地直接使用常規的振動模態疊加法或時間積分法來求解撞擊問題。文獻具體報道了利用解析模態和有限元離散模態求解質點－彈性杆的撞擊力變化過程，並討論了各種因素以及有限元建模對結果的影響。
（3）纖維複合板
纖維複合板複合板受到低速撞擊問題已被許多學者研究過。sun和chattopadhyay[27]研究了乙個四邊簡支各向同性板受到中心撞擊的情形，並考慮了橫向剪下變形。dobyns[28]研究了受均布矩形荷載時的撞擊情形。
和c guedes soares[29]也研究了板的撞擊響應，對位移、轉角採用fourier級數展開，數值積分用nemark方法，並與拉普拉斯解進行了比較。
（4）有限元方面的進展
文獻[30]較早使用有限元方法研究了接觸/撞擊問題。文獻[31]使用辛方法研究了非線性撞擊問題。jerome m.
solberg, panayiotis papadopoulos [32]基於非線性力學有限元原理，使用數值方法研究了接觸/撞擊問題。對於無摩擦問題，建立數值微分方程。在接觸面上損失了一部分能量，以穩定接觸面的動能場。
數值解採用了nemark積分法，較好地模擬了接觸/撞擊過程。文獻[33]依據波傳播理論提出一種新的數值演算法：含有模態綜合的有限元計算法，並與柔性杆受軸向撞擊的經典st.
venant解進行了比較。
台灣學者r.-f. fung and j.
-h. sun和 j.-w.
wu[34]研究了研究了滑動曲柄機構在撞擊下的軌跡控制。khulief and shabana[35]通過gmb途徑來研究多體系統的撞擊問題，同時發展了cfm方法來研究多體系統撞擊問題。
除了上述研究，近年來許多學者對不等截面桿及受載梁的自由振動進行了大量研究。 li等對等截面杆、不等截面杆含有集中質量－彈簧耦合系統進行了大量研究[36-47]。m.
gürgze針對兩個固支－自由縱向振動杆，端部帶有質量塊，由兩彈簧－質量系統耦合文獻，還討論了梁含有阻尼器的自由振動[48]。
5．本**主要工作：
（1）給出細長圓錐形的截面杆受到質點縱向彈性碰撞時的精確解析解。使用了一種新方法用於分析質點－圓錐形杆碰撞，即由疊加法給出杆的響應。其結果可驗證數值解和其他解析解。
算例顯示，所提出方法的優點之一是響應解的解析形式簡潔。算例表明一些描述杆幾何形狀的變數在撞擊分析中具有重要作用。
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