摘要：本文首先介紹了三種骨架抽取演算法, 並選取了最大圓盤的形態學骨架抽取演算法作為研究物件,在c++程式設計的實驗基礎上，展示了基於形態學的影象骨架提取和影象重建的過程。
關鍵詞：數學形態學；骨架提取；骨架重建
骨架是圖象幾何形態的一種重要拓撲描述。利用骨架表示原始影象，可以在保持圖象重要拓撲特徵的前提下, 減少圖象中的冗餘資訊。因此, 被廣泛應用於生物形狀描述, 模式識別, 工業檢測, 定量金相以及圖象壓縮編碼等領域。
1 骨架抽取的幾種模型
隨著研究的深入, 人們提出了多種骨架化演算法, 下面首先討論一下三種最常用的演算法。
1.1 中軸變換法: 中軸可以用下面的例子來形象的說明, 設想
t = 0 時刻, 將目標邊界各處同時點燃, 火的前沿以勻速向目標蔓延, 當前沿相交時火焰熄滅, 火焰熄滅點的集合就構成了中軸。通常我們對目標影象的細化處理, 就是將影象上的文字、曲線、直線等幾何元素的線條沿著中心軸線將其細化成乙個象素寬的線條的處理過程。
1.2 影響區骨架法: 首先介紹一下測地距離和測地影響區的概念。測地距離以x , y為端點, 包含在a 中的最短距離。 在圖1 中為歐氏距離,為測地距離。
圖1 測地距離圖2 最大圓盤方式定義的中軸
測地影響區：設b 為a 中乙個集合, 它由多個連通子集組成, 記為。連通成分的測地影響區, 由a 中距的測地距離比距b 的其他連通成分距離都要小的所有點集組成。
1)其中, k 為b 中連通成分的個數。由此得到影響區骨架( sk i z ) 的定義。
影響區骨架( s k i z ) ：在a 中不屬於任何乙個b 的測地影響區的點集, 構成影響區骨架, 用表示:
2)1.3 基於最大圓盤的形態學骨架抽取演算法b l um 與n ag l e 等人對區域的骨架作了很形象的描述。他們設想採用乙個直徑大小可任意改變的圓盤, 連線成分可以由一系列的最大圓盤來描述。
最大圓盤與連線成分的輪廓相切, 連線成分的骨架則是這一系列最大內切圓盤圓心的連線。如圖2 所示。
以骨架上這些點為圓心的圓盤滿足兩個條件:(1)這些圓位於影象內部( 即被影象完全包容) ;(2)這些圓都是最大的,即在影象內部不可能再找到另乙個圓能完全包容這個圓。通過以上的說明可以看到在求影象的骨架時應滿足兩個條件:
在求骨架的過程中,影象應該有規律的縮小;在影象逐步縮小的過程中應使影象的尤拉數, 即連通性質保持不變。下面用數學形態學來描述求骨架的過程。
對於n = 0, 1, 2……, 定義骨架子集skel( s ; n ) 為影象s 內所有最大圓盤nb的圓心構成的集合。從骨架的定義可知, 骨架是所有骨架子集的並:
3) 定義1 設為歐氏空間上的集合,的骨架記為, 為骨架的子集, 即)對應於的最大內切圓半徑為的骨架, 則數學形態學對骨架的描述為
4式中指半徑為r的圓,為具有微小半徑值的圓。歐氏網格空間中, 圓可近似認為是乙個小的結構元素。圓則近似地認為是有離散半徑的圓:
( n 次) 。由此可以得出數學形態學對骨架的另一種定義形式。
定義2 設x為歐氏網格空間上的集合, x的骨架記為s ( x ) , 則數學形態學對骨架可描述為:
5式中為的第個骨架子集,為滿足和的n 值, 即至少被腐蝕次才會變為空影象。為個的膨脹, 即。由定義1可以得出計算骨架的迭代過程。
從本質上講, 定義1 與定義2 其實是一致的, 即定義2 中的每乙個子集中的所有點都是用最大圓概念描述骨架定義的方法中所指的大小為的最大圓圓心。
2 數學形態學骨架抽取演算法
定義為包括影象及背景的積累集。
(1)(2)(3)if ,
then and go to 7.
(4)(5)
(6)and go to 2.
(7)(8)return
用數學形態學方法提取的骨架具有下列性質：
(1)若則
(2)若選時則
(3)骨架的各個子集之間是不連通的，即所得到的骨架為間斷的.
(4)若為的第個子集中的元素，即，那麼結構元中至少包含二個的邊界點.
3 骨架重建
設二值影象的集合為,中邊界的集合為,為骨架集合中的點,為到集合中最近點的距離,若中存在至少二點、;滿足:;即p中至少有二個點x、y,m到、的距離相等且就是到集合中最近點的距離,則所有的的集合就是的骨架.按照此定義,通常的用骨架重建原影象的方法,是以骨架上每乙個點為圓心,以半徑為作圓盤,所有圓盤的並集就是重建的原始影象.
用數學形態方求出骨架後,也可用形態學變換的方法重建原始影象,這實際上是求骨架的逆運算.
若設骨架函式為:
對任一,若,則.
這樣,對每一骨架上的元素都對應乙個骨架函式,且記錄了該元素所在的是第個骨架子集,即:
若則從重建原影象:
i)或(i)中的骨架表示式表明,影象可由各個骨架子集做一次膨脹運算獲得.也可用骨架上的各個元素與相應的結構元做一次膨脹運算以後獲得.
二值影象骨架的數學形態學描述及重建演算法如下:
設,是包括影象和背景的積累集.
(1)(2)(3) if return , otherwise
(4) and go to 2.
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