新課標高二數學同步測試（2）—（2－1第二章2.1－2.3）
說明：本試卷分第一卷和第二卷兩部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答題時間120分鐘．
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題後的括號內（每小題5分，共50分）．
1．在同一座標系中，方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0（a＞b＞0）的曲線大致是
2．已知橢圓和雙曲線＝1有公共的焦點，那麼雙曲線的漸近線方程是
a．x＝± b．y＝± c．x＝± d．y＝±
3．過拋物線y=ax2（a＞0）的焦點f用一直線交拋物線於p、q兩點，若線段pf與fq的長分別是p、q，則等於
a．2a b． c．4ad．
4．若橢圓的左、右焦點分別為f1、f2，線段f1f2被拋物線y2=2bx的焦點分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為
ab． cd．
5．橢圓=1的乙個焦點為f1，點p在橢圓上.如果線段pf1的中點m在y軸上，那麼點m的縱座標是
ab．± c．± d．±
6．設f1和f2為雙曲線y2＝1的兩個焦點，點p在雙曲線上，且滿足∠f1pf2＝90°，則△f1pf2的面積是
a．1 b． c．2 d．
7．已知f1、f2是兩個定點，點p是以f1和f2為公共焦點的橢圓和雙曲線的乙個交點，並且pf1⊥pf2，e1和e2分別是橢圓和雙曲線的離心率，則有
a． b． c． d．
8．已知方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值範圍是
a．m<2 b．1 c．m<－1或19．已知雙曲線－=1和橢圓+=1(a>0,m>b>0)的離心率互為倒數，那麼以a、b、m為邊長的三角形是
a．銳角三角形 b．直角三角形
c．鈍角三角形 d．銳角或鈍角三角形
10．橢圓上有n個不同的點: p1, p2, …, pn, 橢圓的右焦點為f. 數列｛|pnf|｝是公差大於的等差數列, 則n的最大值是
a．198 b．199 c．200 d．201
二、填空題：請把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）．
11．已知點（－2，3）與拋物線y2=2px（p＞0）的焦點的距離是5，則p
12．設圓過雙曲線=1的乙個頂點和乙個焦點，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是
13．雙曲線＝1的兩個焦點為f1、f2，點p在雙曲線上，若pf1⊥pf2，則點p到x軸的距離為
14．若a點座標為（1，1），f1是5x2＋9y2=45橢圓的左焦點，點p是橢圓的動點，則|pa|＋|p f1|的最小值是
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（共76分）．
15．（12分）已知f1、f2為雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點，過f2作垂直於x軸的直線交雙曲線於點p，且∠pf1f2＝30°．求雙曲線的漸近線方程．
16．（12分）已知橢圓的長、短軸端點分別為a、b，從此橢圓上一點m向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，向量與是共線向量．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）設q是橢圓上任意一點，、分別是左、右焦點，求∠的取值範圍；
17．（12分）如圖橢圓(a>b>0)的上頂點為a，左頂點為b, f為右焦點, 過f作平行與ab的直線交橢圓於c、d兩點. 作平行四邊形oced, e恰在橢圓上．
（ⅰ）求橢圓的離心率；
（ⅱ）若平行四邊形oced的面積為, 求橢圓方程．
18．（12分）雙曲線(a>1,b>0)的焦距為2c,直線l過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線l的距離與點(－1,0)到直線l的距離之和s≥c.求雙曲線的離心率e的取值範圍．
19．（14分）如圖，直線l1和l2相交於點m，l1⊥l2，點n∈l1.以a、b為端點的曲線段c上的任一點到l2的距離與到點n的距離相等.若△amn為銳角三角形，|am|=，|an|=3，且|bn|=6.
建立適當的座標系，求曲線段c的方程
20．（14分）已知圓c1的方程為(x－2)2+(y－1)2=，橢圓c2的方程為+=1（a>b>0），c2的離心率為，如果c1與c2相交於a、b兩點，且線段ab恰為圓c1的直徑，求直線ab的方程和橢圓c2的方程．
參***
一、1．d；解析一：將方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0轉化為標準方程：.因為a＞b＞0，因此，＞0，所以有：橢圓的焦點在y軸，拋物線的開口向左，得d選項.
解析二：將方程ax+by2=0中的y換成－y，其結果不變，即說明：ax+by2=0的圖形關於x軸對稱，排除b、c，又橢圓的焦點在y軸.故選d.
評述：本題考查橢圓與拋物線的基礎知識，即標準方程與圖形的基本關係.同時，考查了代數式的恒等變形及簡單的邏輯推理能力.
2．d；解析：由雙曲線方程判斷出公共焦點在x軸上，∴橢圓焦點（，0），雙曲線焦點（，0），∴3m2－5n2=2m2+3n2∴m2=8n2又∵雙曲線漸近線為y=±·x∴代入m2=8n2，|m|=2|n|，得y=±x．
3．c；解析：拋物線y=ax2的標準式為x2＝y，∴焦點f（0，）.
取特殊情況，即直線pq平行x軸，則p=q.
如圖，∵pf＝pm，∴p＝，故．
4．d；
5．a；解析：由條件可得f1（－3，0），pf1的中點在y軸上，∴p座標（3，y0），又p在=1的橢圓上得y0=±，∴m的座標（0，±），故選a.
評述：本題考查了橢圓的標準方程及幾何性質，中點座標公式以及運算能力.
6．a；解法一：由雙曲線方程知|f1f2|＝2，且雙曲線是對稱圖形，假設p（x，），由已知f1p⊥f2 p，有，即，因此選a.
評述：本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、兩條直線垂直的條件、三角形面積公式以及運算能力.
7．d；
8．d；
9．b；
10．c；
二、11．4；解析：∵拋物線y2=2px（p＞0）的焦點座標是（，0），由兩點間距離公式，得=5．解得p=4.
12．；解析：如圖8—15所示，設圓心p（x0，y0），則|x0|＝＝4，代入＝1，得y02＝，∴|op|＝．
評述：本題重點考查雙曲線的對稱性、兩點間距離公式以及數形結合的思想.
13．；解析：設|pf1|＝m，|pf2|＝n（m＞n），a＝3、b＝4、c＝5，∴m－n＝６ m2＋n2＝4c2，m2＋n2－（m－n）2＝m2＋n2－（m2＋n2－2mn）＝2mn＝4×25－36＝64，mn＝32.
又利用等面積法可得：2c·y＝mn，∴y＝．
14．；
三、15．解：（1）設f2（c，0）（c＞0），p（c，y0），則=1．解得y0=±，
∴|pf2|=，在直角三角形pf2f1中，∠pf1f2=30°
解法一：|f1f2|=|pf2|，即2c=，將c2=a2+b2代入，解得b2=2a2
解法二：|pf1|=2|pf2|，由雙曲線定義可知|pf1|－|pf2|=2a，得|pf2|=2a.
∵|pf2|=，∴2a=，即b2=2a2，∴
故所求雙曲線的漸近線方程為y=±x．
16．解：（1）∵，∴．
∵是共線向量，∴，∴b=c,故．
（2）設
當且僅當時，cosθ=0，∴θ．
說明：由於共線向量與解析幾何中平行線、三點共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點共線等相關的問題均可在向量共線的新情景下設計問題．求解此類問題的關鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線等的關係，把有關向量的問題轉化為解析幾何問題．
17．解：(ⅰ) ∵焦點為f(c, 0), ab斜率為, 故cd方程為y= (x－c). 於橢圓聯立後消去y得2x2－2cx－b2=0.
∵cd的中點為g(), 點e(c, －)在橢圓上, ∴將e(c, －)代入橢圓方程並整理得2c2=a2, ∴e =.
(ⅱ)由(ⅰ)知cd的方程為y= (x－c), b=c, a=c. 與橢圓聯立消去y得2x2－2cx－c2=0.
∵平行四邊形oced的面積為
s=c|yc－yd|=c=c,
∴c=, a=2, b=. 故橢圓方程為
18．解：直線l的方程為bx+ay－ab=0.由點到直線的距離公式,且a>1,得到點(1,0)到直線l的距離d1 =．
同理得到點(－1,0)到直線l的距離d2 =.s= d1 +d2==.
由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.
於是得5≥2e2.即4e2－25e+25≤0.解不等式,得≤e2≤5.
由於e>1>0,所以e的取值範圍是.
19．解法一：如圖建立座標系，以l1為x軸，mn的垂直平分線為y軸，點o為座標原點.
依題意知：曲線段c是以點n為焦點，以l2為準線的拋物線的一段，其中a、b分別為c的端點.
設曲線段c的方程為，y2=2px（p＞0），（xa≤x≤xb，y＞0）
其中xa、xb分別為a、b的橫座標，p＝|mn|．所以m（，0），n（，0）
由|am|＝，|an|＝3得：
（xa＋）2＋2pxa＝17 ①
（xa）2＋2pxa＝9
由①②兩式聯立解得xa＝，再將其代入①式並由p>0，解得或
因為△amn是銳角三角形，所以＞xa，故捨去
所以p＝4，xa＝1．由點b在曲線段c上，得xb＝|bn|＝4．
綜上得曲線段c的方程為y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）．
解法二：如圖建立座標系，分別以l1、l2為x、y軸，m為座標原點.作ae⊥l1，ad⊥l2，bf⊥l2，垂足分別為e、d、f.設a（xa，ya）、b（xb，yb）、n（xn，0）
依題意有xa＝|me|＝|da|＝|an|＝3，ya＝|dm|＝
由於△amn為銳角三角形，故有
xn＝|me|＋|en|＝|me|＋＝4，xb＝|bf|＝|bn|＝6．
設點p（x，y）是曲線段c上任一點，則由題意知p屬於集合
｛（x，y）|（x－xn）2+y2=x2，xa≤x≤xb，y＞0｝
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