學習目標 1.進一步掌握三角恒等變換的方法.2.會利用正弦、余弦、正切的兩角和差公式與二倍角公式.3.對三角函式式進行化簡、求值和證明.
1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
tan(α＋β)＝.
tan(α－β)＝.
2.二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.公升冪縮角公式
1＋cos 2α＝2cos2α.
1－cos 2α＝2sin2α.
4.降冪擴角公式
sin xcos x＝，cos2x＝，
sin2x＝.
5.和差角正切公式變形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β
＝tan(α－β)(1＋tan αtan β).
6.輔助角公式
y＝asin ωx＋bcos ωx＝sin(ωx＋θ).
型別一靈活變角的思想在三角恒等變換中的應用
例1 已知α，β為銳角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值.
解 ∵α是銳角，cos α＝，
∴sin α＝，tan α＝.
∴tan β＝tan
∵β是銳角，故cos β＝.
反思與感悟注意未知角用已知各角之間來表示，就可以利用和差倍半的公式展開，就能夠解決此類問題.
跟蹤訓練1 已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.
解 tan α＝tan>0.
而α∈(0，π)，故α∈.
∵tan β＝－，0<β<π，∴ <β<π.
∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0，
∴－π<α－β<－.
∴20).
∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝1，∴2α－β＝－.
型別二整體換元的思想在三角恒等變換中的應用
例2 求函式y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈r)的值域.
解令sin x－cos x＝t，
則由t＝sin知t∈[－，]，
又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2.
∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2
＝－2＋.
當t＝時，ymax＝；
當t＝－時，ymin＝－－1.
∴函式的值域為.
反思與感悟在三角恒等變換中，有時可以把乙個代數式整體視為乙個「元」來參與計算和推理，這個「元」可以明確地設出來(如例2中令sin x－cos x＝t).
跟蹤訓練2 求函式f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈r的最值及取到最值時x的值.
解設sin x＋cos x＝t，
則t＝sin x＋cos x＝
＝sin，
∴t∈[－，]，
∴sin x·cos x＝＝.
∴f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x
即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，].
當t＝－1，即sin x＋cos x＝－1時，f(x)min＝－1.
此時，由sin＝－，
解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈z.
當t＝，即sin x＋cos x＝時，f(x)max＝＋.
此時，由sin＝，sin＝1.
解得x＝2kπ＋，k∈z.
綜上，當x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈z時，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；當x＝2kπ＋，k∈z時，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋.
型別三轉化與化歸的思想在三角恒等變換中的應用
例3 已知函式f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函式f(x)的最小正週期；
(2)求函式h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，並求使h(x)取得最大值時x的集合.
解 (1)f(x)＝·
＝cos2x－sin2x
＝－＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正週期t＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos，
當2x＋＝2kπ(k∈z)時，h(x)有最大值.
此時x的取值集合為.
反思與感悟 1.為了研究函式的性質，往往要充分利用三角變換公式轉化為正弦型(余弦型)函式，這是解決問題的前提.
2.本題充分運用兩角和(差)、二倍角公式、輔助角轉換公式消除差異，減少角的種類和函式式的項數，將三角函式表示式變形化簡，然後根據化簡後的三角函式，討論其圖象和性質.
跟蹤訓練3 已知cos＝， 解 ＝＝＝
＝sin 2x·tan.
∵又∵cos＝，∴sin＝－.
∴tan＝－.
∴cos x＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＝－.
∴sin x＝sin
＝sincos－sin cos＝－，
sin 2x＝.∴＝－.
型別四構建方程(組)的思想在三角恒等變換中的應用
例4 已知銳角三角形abc中，sin(a＋b)＝，sin(a－b)＝.
(1)求證：tan a＝2tan b；
(2)設ab＝3，求ab邊上的高.
(1)證明 ∵sin(a＋b)＝，sin(a－b)＝，
∴＝2.
∴tan a＝2tan b.
(2)解 ∵∴tan(a＋b)＝－，即＝－.
將tan a＝2tan b代入上式並整理得
2tan2b－4tan b－1＝0，
解得tan b＝，捨去負值，得tan b＝.
∴tan a＝2tan b＝2＋.
設ab邊上的高為cd，
則ab＝ad＋db＝＋＝，
由ab＝3，得cd＝2＋.
∴ab邊上的高等於2＋.
反思與感悟在三角恒等變換中，需將所求三角函式或乙個代數式整體視為乙個「元」參與計算和推理，由已知條件化簡，變形構造方程(組)，應用方程思想求解變數的值.
1.求值等於( )
a.1 b.2 c. d.
答案 c
解析 ＝＝＝.
2.已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，則sin
答案 －
解析 (sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝，2sin(α－β)＝－，即sin(α－β)＝－.
3.設α為銳角，若cos＝，則sin的值為 .
答案 解析 ∵α為銳角且cos＝，
∴sin＝.
sin＝2sincos＝，
cos＝2cos2－1＝，
∴sin＝sin
＝＝.4.已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β是第三象限角，則cos的值等於 .
答案 ±
解析由已知，得sinsin(－β)＝，
得sin β＝－.
∵β在第三象限，∴cos β＝－.
∴cos＝±＝±＝±.
5.已知函式f(x)＝cos2＋sin cos－(ω＞0)的最小正週期為π.
(1)求ω的值及函式f(x)的最大值和最小值；
(2)求函式f(x)的單調遞增區間.
解 (1)f(x)＝cos2＋sincos－
＝sin ωx＋cos ωx＝sin.
因為t＝＝π，ω＞0，所以ω＝2.
所以f(x)＝sin，x∈r，
所以－1≤sin≤1.
所以函式f(x)的最大值為1，最小值為－1.
(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈z)，
得2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈z)，
所以kπ－≤x≤kπ＋(k∈z)，
所以函式f(x)的單調遞增區間為(k∈z).
本章所學的內容是三角恒等變換重要的工具，在三角函式式求值、化簡、證明，進而研究三角函式的性質等方面都是必要的基礎，是解答整個三角函式類試題的必要基本功，要求準確，快速化到最簡，再進一步研究函式的性質.
一、選擇題
2 014°cos 1 586°－sin 2 014°sin 1 586°等於( )
a.0 b. c. d.1
答案 d
解析原式＝cos(2 014°＋1 586°)
＝cos 3 600°＝1.
第三章總複習
1 人體呼吸系統的組成按順序排列應當是 d a 鼻咽喉支氣管氣管肺 b 鼻喉嚥氣管支氣管肺 c.鼻口腔咽喉氣管支氣管 d 鼻咽喉氣管支氣管肺 2 下例各項試圖論述用鼻呼吸的優點，但有一項不正確，應該是 a a 鼻粘膜內的嗅細胞可以感受氣味的刺激 b 鼻粘膜具有豐富的毛細血管，能溫暖吸入的冷空氣c.鼻...
第三章章末小結階段質量檢測
第三章測試卷 一 選擇題 本大題共10個小題，每小題5分，共50分 1 化簡的結果為 a 5b.cd 5 2 若log5 log36 log6x 2，則x等於 a 9b.c 25d.3 2011 江西高考 若f x 則f x 的定義域為 a 0b 0 cd 0，4 函式y a2 1 x在 上是減函式...
第三章相互作用章末測試
一 選擇題 1.下列說法中正確的是 a.只有接觸的物體間才有力的作用 b.乙個物體可以只受力而同時不對其他物體施加力 c.物體在受力的同時也在施加力 d.在力的圖示中，長的線段所表示的力一定比短的線段表示的力大 2.下列各組力中，根據力的性質分類的是 a.重力和浮力 b.拉力和壓力 c.摩擦力和動力...