高二理科教師用書
導數第1講導數的運算與幾何意義
第2講導數在研究函式中的綜合應用
第3講利用導數處理恆成立、存在性問題
第4講利用導數處理不等式證明問題
第4講補充定積分與微積分基本定理
複數與推理證明
第1講複數與推理證明簡單運用
第2講數學歸納法
第7講期中複習
【備選1】若函式在區間內可導，且則的值為（ ）．
abcd．0
【解析】 c
1．基本初等函式的導數公式表：
（為常數）；；
；；；；
2．導數的四則運算法則：其中都是可導函式，為常數：
；；；（）．
3．復合函式的求導：對於可導函式，．
【例1】 求下列函式的導數
⑴；⑵；⑶；⑷；
⑸；⑹；⑺；⑻．
【解析】 ⑴
⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹⑺
⑻.【例2】 求下列函式的導數：
【解析⑶ ⑷
【鋪墊1】(2009湖北理14)已知函式，則的值為
【解析】
【鋪墊2】已知函式，則（ ）.
abcd．0
【解析】 a
【鋪墊3】設函式，（、、是兩兩不等的常數），則
．【解析】
【例3】 （2010宣武一模理14）有下列命題：
①若存在導函式，則；
②若函式，則；
③若函式，則.
其中真命題的序號是 .
【解析】 ③
題型一曲線在某點的切線
由於函式在處的導數的幾何意義是曲線在點處的切線的斜率，因此，曲線在點處的切線方程可如下求得：
⑴ 求出函式在處的導數，即曲線在點處切線的斜率.
⑵ 在已知切點座標和切線斜率的條件下,求得切線方程為.
注意：如果曲線在點的切線平行於軸(此時導數不存在)時,由切線的定義可知,切線的方程為.
題型二曲線過某點的切線
把握以下四點:
①曲線的切線不一定和曲線只有乙個公共點;
②「在」某一點的切線和「過」某點的切線是兩個不同的概念；
③在某一點的切線，若有，則只有一條；而過某點的切線可能不只一條；
④用導數求切線的斜率時，必須設出切點，即採用「待定切點法」.
【例4】 ⑴ 如圖，函式的圖象在點處的切線方程是
，則 ．
⑵ 函式的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是（ ）
a． b．
c． d．
【解析】 ⑴
⑵ b【拓展1】（2008江蘇卷8）直線是曲線的一條切線，則實數的值為 ．
【解析】
【拓展2】（2008西城一模理7）設，函式的導函式是，且是奇函式．若曲線的一條切線的斜率是，則切點的橫座標為（ ）.
abcd．
【解析】 d
【拓展3】設函式，曲線在點處的切線方程為，則曲線
在點處切線的斜率為（ ）.
a．4 b． c．2 d．
1【解析】 a
【鋪墊1】（2009全國ii卷理4）
曲線在點處的切線方程為（ ）.
a． b． c． d．
2【解析】 b
【鋪墊2】曲線在點處的切線與座標軸圍成的三角形面積為（ ）
a． b． c． d．
3【解析】 a
【例5】 ⑴（2009安徽卷理9）
已知函式在上滿足，則曲線在點
處的切線方程是（ ）.
ab． c． d．
⑵（2009全國ⅰ卷理9） 已知直線與曲線相切，則的值為
a．1b．2cd．
【解析】 ⑴ a
⑵ b【拓展3】設，函式的導函式是，且是奇函式．則曲線的斜率是的切線方程為
【解析】
【拓展3】已知函式，其中．若直線是曲線的切線，求的值.
【解析】
.【例6】 ⑴ 已知曲線．
①求曲線在點處的切線方程；
②求曲線過點的切線方程．
⑵ 若存在過點的直線與曲線和都相切，求的值.
【解析】 ⑴
①．②或．
⑵或.【拓展2】設函式，曲線在點處的切線方程為．
⑴ 求的解析式；
⑵ 證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，並求此定值．
【解析】 ⑴．
⑵．【拓展3】設函式，曲線在點處的切線方程為．
⑴ 求的解析式；
⑵ 證明：曲線的圖象是乙個中心對稱圖形，並求其對稱中心；
⑶ 證明：曲線上任一點的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，並求出此定值．
【解析】 ⑴．
⑵ 法一：已知函式，都是奇函式．
所以函式也是奇函式，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形．
而．∴函式的圖象是以點為中心的中心對稱圖形．
法二：∵
故函式的圖象是以點為中心的中心對稱圖形．
⑶ 證明：在曲線上任取一點．
由知，過此點的切線方程為．
令得，切線與直線交點為．
令得，切線與直線交點為．
直線與直線的交點為．
從而所圍三角形的面積為．
所以，所圍三角形的面積為定值．
設函式，其中，曲線在點處的切線方程為.
⑴ 確定的值.
⑵ 設曲線在點及處的切線都過點.證明：當時，.
【解析】 ⑴，．
⑵，．由於點處的切線方程為
，而點在切線上，所以，
化簡得，即滿足的方程為．
下面用反證法證明．
方法一：
假設，由於曲線在點及處的切線都過點，則下列等式成立；
變形得:;.
消得:.
所以有,即.與已知矛盾.所以假設不成立,故原命題成立.
方法二：
假設，由於曲線在點及處的切線都過點，則下列等式成立.
由③得．由①-②得 ④
又故由④得，此時與矛盾．所以．
【演練1】（2010全國卷2理10）
若曲線在點處的切線與兩個座標軸圍成的三角形的面積為18，則
（ ）.
a．64b．32c．16d．8
【解析】 a
【演練2】（2010遼寧理10）
已知點在曲線上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值範圍是（ ）.
abcd．
【解析】 d
【演練3】設曲線在點處的切線與直線垂直，則（ ）.
a．2 b． c． d．
【解析】 d
【演練4】曲線過點的切線方程為（ ）.
a． b． c． d．
【解析】 c
【演練5】已知函式．
①求曲線在點處的切線方程；
②求曲線過點的切線的方程．
【解析】 ①．
②與．（2023年第二十二屆「希望盃」全國數學邀請試題高二第2試）
設曲線在點處的切線與軸的交點的橫座標是，則
的值為（ ）
abcd．1
【解析】 a
利用導數判斷函式的單調性的方法
如果函式在的某個開區間內，總有，則在這個區間上是增函式；如果函式在的某個開區間內，總有，則在這個區間上是減函式．
利用導數研究函式的極值：
已知函式，設是定義域內任一點，如果對附近的所有點，都有，則稱函式在點處取極大值，記作．並把稱為函式的乙個極大值點．
如果在附近都有，則稱函式在點處取極小值，記作．並把稱為函式的乙個極小值點．
極大值與極小值統稱為極值．極大值點與極小值點統稱為極值點．
求函式在上的最大值與最小值的步驟如下：
⑴ 求函式在內的極值；
⑵ 將函式的各極值與端點處的函式值，比較，其中最大的乙個是最大值，最小的乙個是最小值．
【鋪墊1】 已知函式．則函式的單調遞增區間為（ ）．
abcd．
【解析】 c
【鋪墊2】已知函式，其中．求函式的單調區間．
【解析】 單調遞減區間是和，單調遞增區間是．
【鋪墊3】設函式．求函式的單調區間．
【解析】 當時，，函式單調遞增；
當時，，函式單調遞減．
【例1】 (2008北京卷理18)
已知函式，求導函式，並確定的單調區間．
【解析】 ①當時，
函式在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．
②當時，
函式在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．
③當，即時，，
函式在上單調遞減，在上單調遞減．
【例2】 （2010北京理18）
已知函式．
⑴ 當時，求曲線在點處的切線方程；
⑵ 求的單調區間．
【解析】 ⑴
⑵①當時，
的單調遞增區間是和，單調遞減區間是．
②當時，
的單調遞增區間是．
③當時，
的單調遞增區間是和，單調遞減區間是．
【拓展1】(2008北京卷文17)已知函式，且是奇函式．
⑴ 求，的值；
⑵ 求函式的單調區間．
【解析】 ⑴，．
⑵當時，函式在上單調遞增，
在上單調遞減，在上單調遞增．
當時，，所以函式在上單調遞增．
【鋪墊1】已知函式,則的極大值為極小值為
1【解析】 ，．
【鋪墊2】已知函式在點處取得極大值，則與的值分別為（ ）．
a． bcd．
2【解析】 a
【鋪墊3】(2008廣東卷理7)設，若函式，有大於零的極值點，則( )
2019高二下學期數學教學總結
5 課堂上的情況。組織好課堂教學，關注全體學生，注意資訊反饋，調動學生的有意注意，使其保持相對穩定性，同時，激發學生的情感，使他們產生愉悅的心境，創造良好的課堂氣氛，課堂語言簡潔明瞭，克服了以前重複的毛病，課堂提問面向全體學生，注意引發學生學數學的興趣，課堂上講練結合，布置好家庭作業，作業少而精，減...
高二下學期數學複習計畫
漠河縣職業技術學校 倫志合 職業技術學校學生的基礎相對要薄弱，對數學知識的理解要難很多所以在學期結束我制定了以下複習計畫來幫助學生做到最好的複習，以求溫故而知新的目的。一 吃透教材握動向 在複習中，很重要的一點是要有針對性，提高效率，避免做無用功。在對基本的知識點如 公式定義會貫通的基礎上，認真研究...
高二下學期理科數學答案
參 1 d 解析 試題分析 解得由圖中陰影部分可知，表示的是n中不包括m集合的元素即是.考點 集合的運算.2 b 解析 試題分析 由命題 使得 為假命題，則命題 使得 為真命題.所以.故選 c 考點 1.命題的真假.2.特稱命題與全稱命題的否定.3.二次不等式的解法.3 c 解析 試題分析 原命題的...