在客觀世界中，相等的關係是相對的、區域性的，不等的關係是絕對的、普遍的，因此，我們常常需要比較一些量的大小或者對某個量進行估計，列出不等式(組)，運用不等式(組)的相關知識予以求解．
不等式(組)的應用主要表現在：作差或作商比較數的大小；求代數式的取值範圍；求代數式的最值，列不等式(組)解應用題．
列不等式(組)解應用題與列方程解應用題的步驟相仿，一般步驟是：
1．弄清題意和題中的數量關係，用字母表示未知數；
2．找出能夠表示題目全部含義的乙個或幾個不等關係；
3．列出不等式(組)；
4．解這個不等式(組)，求出解集並作答．
例題 【例1】 給出四個自然數a，b、c、d，其中每三個數之和分別是180、197、208、
222，則a，b、c、d中最大的數是
(「希望盃」邀請賽試題)
思路點撥較繁的一般解法是解關於a，b、c、d的四元一次方程組．由題意知a，b、c、d互不相等，不妨設a 【例2】 甲從乙個魚攤上買了三條魚，平均每條a元，又從另乙個魚攤上買了兩條魚，平均每條b元，後來他又以每條元的**把魚全部賣給了乙，結果發現賠了錢，原因是( )．
a．a>b b．a (山東省競賽題)
思路點撥把買賣的錢數作差比較，推導出a與b的關係．
注： 學習不等式 (1)基本≠簡單
許多人非常不重視基本的東西，甚至輕視它，「基本」應該等於「重要」加上「簡單」．
(2)懂≠會≠對
「懂」有時只是浮面的，只是形式上的了解，還必須經過組織與整理，融會貫通，並從問題的演練中．不斷地發現自己不會的地方，才可以逐漸達到「真會」的地步．
在解一些涉及到多個變元的數學問題時，題設條件並沒有給出變元的大小順序，若給它們假設乙個大小順序，並不影響命題的成立，則給問題的解決增加了乙個可供使用的條件，從而降低問題的難度，這種方法叫排序法．
【例3】已知是彼此互不相等的正整數，它們的和等於159，求其中最小數a1的最大值．
(北京市競賽題)
思路點撥設則a1+a2+a3+…+a7=159，解題的關鍵是怎樣把多元等式轉化為只含a1o的不等式，這裡要用到整數的如下性質：設a、b為整數，若a【例4】現計畫把甲種貨物1240噸和乙種貨物880噸用一列貨車運往某地，已知這列貨車掛有a、b兩種不同規格的貨車廂共40節，使用a型車廂每節費用為6000元，使用b型車廂每節費用為8000元．
(1)設運送這批貨物的總費用為y萬元，這列貨車掛a型車廂x節，試寫出y與x之間的關係式：
(2)如果每節a型車廂最多可裝甲種貨物35噸和乙種貨物15噸，每節b型車廂最多可裝甲種貨物25噸和乙種貨物35噸，裝貨時按此要求安排a、b兩種車廂的節數，那麼共有哪幾種安排車廂的方案?
(3)在上述方案中，哪個方案運費最省?最少運費為多少元?
(廣州市中考題)
思路點撥 (2)解關於x的不等式組，由正整數x的值確定安排車廂的不同方案．
【例5】 某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數為150枚，且每種硬幣不少於20枚，5分的硬幣要多於2分的硬幣，請你據此設計兌換方案．
(河北省競賽題)
思路點撥引入字母，列出含等式、不等式的混合組，把解方程組、解不等式組結合起來．
注： 從近年中考應用題中可以看出，應用題涉及我們日常生活中的經營決策、商品買賣、方案設計，最佳效益等多方面，且呈現出數量關係複雜、背景新穎的趨勢．為此，我們應對社會和自然充滿好奇心，貼近生活實際，關心c社會熱點，加強應用數學的意識，努力用數學的思想和方法研究解決實際問題，同時在解題中側重於與解答有關聯的數量關係進行分析，不必追求那些自己一時不易弄懂的背景材料的實際意義．
解含等式、不等式組成的混合型問題的基本策略是，通過消元轉化成只舍有乙個未知數的不等式(組)，解不等式(組)通近求解，從而解決相關問題．
【例6】 (江蘇省常州市中考題)某校為了獎勵在數學競賽中獲獎的學生，買了若干本課外讀物準備送給他們．如果每人送3本，則還餘8本；如果前面每人送5本，則最後一人得到的課外讀物不足3本．設該校買了m本課外讀物，有x名學生獲獎，請解答下列問題：
(1)用含x的代數式表示m；
(2)求出該校的獲獎人數及所買的課外讀物的本數．
思路點撥 (1)m=3x十8；
(2) 依題意得，∴
∵x是正整數，∴x=6，m=26．
答：該校的獲獎人數為6人，所買的課外讀中的本數為26．
注：在一些實際問題中，往往含有：「不足」「不超過」不低於」等關鍵詞，將這些關鍵詞轉換成不等符號，就可以建立不等式，從而使問題得以解決．
【例7】(黑龍江省中考題)為了迎接2023年的世界盃足球賽，某足球協會舉辦了一次足球賽，其記分規則和獎勵方案如下：
當比賽進行到第12輪結束時(每隊需要比賽12場)，a隊共積19分．
(1)請通過計算，判斷a隊勝、平、負各九場?
(2)若每賽一場，每個參賽隊員得出場費500元，設a隊其中一名，參賽隊員所得的獎金和出場費的和為w(元)，試求w的最大值．
思路點撥設a隊勝x場，平y場，負z場，則有
， 解得
由題意可知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均為整數，∴
解得 3≤x≤6，∴ x=4，5，6．
∴ a隊勝4場，平7場，負1場；或勝5場，平4場，負3場；或勝6場，平1場，負5場
(2)w=(1500+500)x+(700十500)y+ 500z=－600x十19300，
觀察代數式－600x+19300，發現x越小，w越大．
∴ 當x=4時，w最大值=16900元．
注： 題中有兩個明顯的相等關係，可以列出兩個方程，但問題中迫切需要求出三個未知量，利用題中隱含的不等關係「三個未知量都是非負整數」建立不等式組，確定未知量的取值範圍．這實際上也是利用不等式求不定方程組的整數解的一種重要方法．
【例8】 商業大廈購進某種商品1000件，銷售價定為購進價的125％．現計畫節日期間按原定銷售價讓利10％，售出至多100件商品，而在銷售淡季按原定銷售價的60％大甩賣，為使全部商品售完後贏利，在節日和淡季外要按原定價銷售至少多少件商品?
思路點撥設購進價為a元，按原定價銷售x件，節日讓利銷售y件，則淡季銷售(1000－x－y)件．
依題意有
125％ax+125％(1—10％)ay+125％x60％a(1000－x-y)>1000a
即4x+3y>2000，
∵ y≤100，
∴ 4x>2000—3y≥1700，
又x是整數，∴x≥425．
所以，在節日和淡季外要按原定價銷售至少435件商品才能贏利．
注：充分利用「贏利」這一不等關係，贏利即銷售金頗大於成本，題目中並沒有包含x、y的等量關係，但利用y≤100和不等式的傳遞性建立關於x的不等式，從而求出x的取值範圍．
【例9】 (江蘇省競賽試題)貨輪上卸下若干只箱子，其總重量為10t，每只箱子的重量不超過1t，為保證能把這些箱子一次運走，問至少需要多少輛載重3t的汽車?
思路點撥設共需n輛汽車，它們運走的重量依次為a1，a2，…，an則
2≤ai≤3(i=1，2，…，n)，al＋a2＋…＋an=10
∴2n≤10≤3n，解得． ∵ 車子數n應為整數，∴ n=4或5，但4輛車子不夠．例如有13只箱子，每只重量為，而3×＜3，4×＞3，即每輛車子只能運走3只箱子，4輛車子只能運走12只箱子，還剩乙隻箱子，故需5輛汽車．
學力訓練
1．若方程只有負數根，則a的取值範圍是
2．若方程組的解x、y都是正數，則m的取值範圍是
(河南省中考題)
3．某化工廠2023年12月在制定2023年某種化肥的生產計畫時，收集了如下資訊：
(1)生產該種化肥的工人數不能超過200人；
(2)每個工人全年工作時數不得多於2100個；
(3)預計2023年該化肥至少可售銷80000袋；
(4)每生產一袋該化肥需要工時4個；
(5)每袋該化肥需要原料20千克；
(6)現庫存原料800噸，本月還需用200噸，2023年可以補充1200噸．
根據上述資料，確定2023年該種化肥的生產袋數的範圍是
(江蘇徐州中考題) ：
4．設，，則p、q的大小關係是（ ）．
a．p>q b．p5．某種計程車的收費標準是：起步價7元(即行駛距離不超過3千公尺都需付7元車費)，超過3千公尺以後．每增加1千公尺，加收2．4元(不足1千公尺按1千公尺計)．某人乘這種計程車從甲地到乙地共支付車費19元，設此人從甲地到乙地經過的路程是x千公尺，那麼x的最大值是( )．
a．11 b．3 c．7 d．5
(南京市中考題)
6．韓日「世界盃「期間．重慶球迷一行56人從旅館乘計程車到球場為中國隊加油，現有a、b兩個計程車隊，a隊比b隊少3輛車，若全部安排乘a隊的車，每輛坐5人，車不夠，每輛坐6人，有的車未坐滿；若全部安排乘b隊的車，每輛車坐4人，車不夠，每輛車坐5人，有的車未坐滿，則a隊有計程車( )．
a．11輛 b．10輛 c． 9輛 d．8輛
(重慶市中考題)
7．為了能有效地使用電力資源，寧波市電業局從2023年1月起進行居民峰谷用電試點，每天8：00至22：00用電每千瓦時0．56元(「峰電』』價)，22：
00至次日8：00每千瓦時0．28元(「谷電」價)，而目前不使用「峰谷」電的居民用電每千瓦時0．53元．
七年級下第九章不等式與不等式組
一 一元一次不等式知識網路圖 二 一元一次不等式組知識網路圖 三 例題與習題 一 概念和性質 1 當k 時，不等式是一元一次不等式 中，解集是一切實數的是 無解的是 3 語句 若 正確的是 4 語句顯然是不正確的，試分別按照下列要求，將它改為正確的語句 增加條件，使結論不變 條件不變，改變結論 5 ...
七年級數學 第九章不等式與不等式組 六 不等式組的解法
七年級數學 第九章不等式與不等式組 六 不等式組的解法2第周星期班別姓名學號 學習目標 熟練掌握一元一次不等式組的解法，並會把解集在數軸上表示出來。學習環節 環節一複習回顧 1 填表 2 求下列不等式組的解集，並在數軸上表示出來 12 解 由 得 由 得 不等式組的解集是不等式組的解集是 環節二探索...
七年級數學 第九章不等式和不等式組 七應用題
七年級數學 第九章不等式和不等式組 七 應用題1 第周星期班級姓名學號 學習目標 能用不等式描述實際問題中的不等量關係，會用一元一次不等式 組 解決具有不等量關係的實際問題。學習環節 環節一複習回憶用不等式表示 1 y與2的差小於1 2 x與5的和不小於3 3 x與y的和不大於2 4 m與n的和不超...