第十九章含參量積分
一.填空題
1.若在矩形區域上則
2.含參量反常積分
在上一致收斂.
3.設在上連續,若含參量反常積分
在上則在上連續.
4.5.在中如令,則
6.對於任何正實數函式與b函式之間的關係為7.在上不一致收斂是指
8.9.設,則
10.利用函式定義,
二.證明題
1.證明在上一致收斂.
2.證明在上一致收斂.
3.證明若函式在連續,則,有
4.證明在上非一致收斂.
5.證明
6.證明在上一致收斂.
7.證明在上不一致收斂.
8.證明
9.證明
10.證明在r上連續.
計算題1.求
2.求3.設.求
4.求5.用函式與b函式求積分
6.用函式與b函式求積分
7.求積分
8.從等式出發,計算積分
9.設.求
10.求
填空題答案1.連續.2. r3.一致收斂.4.
5..6..
7.,有
8. 19..10..
證明題答案: 1.證明:,有
,而收斂,則
在上一致收斂.
2.證:,有,
而,則在上一致收斂.
3證:已知在連續,使.
設,有於是,
4.證:,有
.即在上非一致收斂.
5.證:設有
.6.證:由於反常積分收斂,函式對每個單調,且對任何,都有.故由阿貝耳判別法可知
在上一致收斂.
7.證:因在處不連續,而在內連續,由連續性定理知,在上不一致收斂.
8.證:令,則.
9.證:令則,
.10.證：
利用含參量積分所確定函式連續性定理可得在r上連續,則在r上連續. (這裡利用了).
計算題答案：1.解:因為,所以.由於函式在上連續,則.
2.解:因為,所以
.由於及反常積分收斂,由m判別法在上一致收斂.由於在上連續,於是.3.解:使.
二元函式與在區域
連續,由含參量正常積分可微性知
4.解:考慮函式
,有.從而二元函式在連續.由連續性定理,取,有.5.解:設有
.6.解:令則.
原積分.
7.解:
.8.解;當時,,而收斂,故
在上一致收斂.又在內連續,所以
.9.解:.在
上連續,均為可微函式.則
在上可微,且
.10.解:記.由於都是的連續函式,
則在處連續,所以
第十九章含參量積分
1.設,其中關於的偏導數存在且連續,求.
2.設,可導,求.
3.計算積分
.4.設試證
5.討論函式
的連續性,其中為閉區間上正的連續函式.
6.計算積分
.7.設是連續函式,
求.8.討論含參量反常積分
在下列區間上的一致收斂性: (1); (2).
9.若在內可積,證明
.10.討論下列含參量積分在指定區間內的一致收斂性:
(1);
(2);
(3);
(4).
11.若(1)函式在內可積; (2)函式定義在上,對,關於單調,且一致有界,則
關於在上一致收斂.
12.計算積分.
關於含參量反常積分的證明
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