中考熱點精講
【考點解析】近年來，數學中考對於知識點的掌握程度的要求主要是了解，知道，掌握與應用。而其中的應用部分就是我們在中考中所要遇到的重點與難點的所在。接下來要介紹的就是其中比較重要的三類問題：
應用題，幾何證明題以及動態問題。而其中的動態問題更是經常作為壓軸題出現在中考中。
【典型應用1】列方程（組）解應用題
【方法簡介】
列方程(組)解應用題是初中階段數學教學的重點，更是難點。其之所以是難點，概括地說：既難教又難學。
在七，八年級數學中涉及到列一元二次方程解應用題，列二元一次方程組解應用題以及列分式方程解應用題三個單元的教學內容。如何採用適當的方法和策略解決這部分問題是大部分學生在備戰中考時的一大難題也是考察的重點。
注意的是，列方程法時一般使用分析法——從未知條件逆向推理來建立未知與已知的關係。
【應用場合】
中考中應用題的解決。
【例題精講】
【應用一】----一元二次方程
【題一】(2023年山西二模）某人用元人民幣購買一年期的甲種債券，到期後兌換人民幣並將所得利息購買一年期的乙種債券，若乙種債券的年利率比甲種債券低個百分點，到期後某人的乙種債券可兌換人民幣元，求甲種債券的年利率。
【略解】解：設甲種債券的年利率為，依題意，甲種債券的利息為元，乙種債券的年利率為，則
整理得：
∵不合題意，捨去
∴ 答：甲種債券的年利率為。
【技巧貼士】
分析：利息=本金×利率×存期
本息=本金+利息
甲種債券利息×（1+乙種債券利率）×存期=108
此類利息問題可以容易的運用一元二次方程解決。
【應用二】---分式方程
【題二】（2023年北京中考卷）兩地間的路程為千公尺，早晨時整，甲從地出發步行前往地，分鐘後，乙從地出發騎車前往地，乙到達地後停留分鐘，然後騎車按原路原速返回，結果甲、乙兩人同時到達地，如果乙騎車比甲步行每小時多走千公尺，問幾點鐘甲，乙兩人同時到達地？
【略解】解：設甲步行每小時走千公尺，
則乙騎車每小時走千公尺
由題意得：
整理得：
解這個方程得：,
經檢驗：， 都是所列方程的根，
但不合題意捨去
∴ 這時（小時）
答：上午點整，甲、乙兩人同時到達地。
【技巧貼士】
此題是行程問題，行程問題中有三個基本量：速度、時間、路程，並且路程=速度×時間。此題若間接設元，設甲步行每小時走千公尺，乙騎自行車每小時走千公尺，又已知兩地路程為千公尺，則可利用甲乙所用的時間找等量關係。
【應用三】 ----二元一次方程
【題三】(2023年第19屆江蘇省初中數學競賽試卷)兩列火車同時從相距千公尺的甲乙兩地相向出發，小時後相遇，如果同向而行，列火車需經過小時追上列火車，求兩列火車的速度.
【略解】解：設列火車的速度是千公尺/時，列火車的速度是千公尺/時。
根據題意，得：{{
答：列火車的速度是千公尺/時，列火車的速度是千公尺/時。
【技巧貼士】
此類題屬於相遇追擊問題，可以分別列兩個方程式，乙個是相向而行，乙個是同向而行。相向而行為兩者路程之和，同向而行為兩者路程之差。
【鞏固練習】
第一期第一部分基礎達標
1.（2023年吉林長春一模卷）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出件，每件盈利元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定採取適當的降價措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價元，商場平均每天可多售出件。 若商場平均每天要盈利元，每件襯衫應降價多少元？
2.（2023年浙江杭州）將進貨單價元的商品按元**，能賣出個，已知這種商品每漲價元，就會少銷售個。為了賺得元的利潤，售價應定為多少？這時應進貨多少個？
3.（2023年河北）甲、乙兩人準備整理一批新到的實驗器材，甲單獨整理需要分完工；若甲、乙共同整理分鐘後，乙需要再單獨整理分才能完工。問：乙單獨整理需多少分鐘完工？
第二部分強化訓練
4.（2023年慶陽）張大叔從市場上買回來一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去乙個邊長為的正方形後，剩下的部分剛好圍成乙個容積為的無蓋長方體箱子，且此長方體箱子的底面長比寬多，現已知購買這種鐵皮每平方公尺需元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？
5.客車和貨車分別在兩條互相平行的鐵軌上行駛，客車長公尺，貨車長公尺。如果兩車相向而行，那麼兩車車頭相遇到車尾離開共需秒鐘;如果客車從後面追貨車，那麼從客車車頭追上貨車車尾到客車車尾離開貨車車頭共需分秒，求兩車的速度。
6.一條船順水行駛千公尺和逆水行駛千公尺的時間都是小時，求船在靜水中的速度與水流的速度。
7.加工一批服裝。每批布可裁個衣片，或個袖片，兩個袖片和乙個衣片合成一套。匹布中用多少匹裁衣片，才能使衣片和袖片正好成套？
第二期第一部分基礎達標
1.（2023年浙江）甲、乙兩車同時從地出發，經過地去地，已知、相距千公尺，出發時，甲每小時比乙多行千公尺，因此，乙經過地比甲晚半小時，為趕上甲，乙從地將車速每小時增加千公尺，結果兩車同時到達，求兩車出發時速度？
2.(2023年泰安）某商店經銷一種紀念品，月份的營業額為元，為擴大銷售，月份該商店對這種紀念品打九折銷售，結果銷售量增加件，營業額增加元。
⑴求這種紀念品月份的銷售**。
⑵若月份銷售這種紀念品獲利元，問：月份銷售這種紀念品獲利多少元？
3.中百超市如果將進貨價為元的商品按元銷售，就能賣出個，但如果這種商品每個漲價元，其銷售量就減少個，如果你是超市的經理，為了賺得元的利潤，你認為售價應定為多少（售價不能超過進價的）?這時應進貨多少個？
第二部分強化訓練
4．甲乙兩人從相距千公尺的兩地相向而行。若甲比乙先行個小時，那麼他們在乙出發小時候相遇；若乙比甲先行個小時，則他們在甲出發小時候相遇。求甲、乙時速各多少？
5.甲乙兩人分別從、兩地同時同向出發，甲經過地後，再經過小時分在c地追上乙，這時兩人所走的路程和為千公尺，而、兩地的距離等於乙走小時的路程，求、兩地的距離？
6.華聯商場購進甲、乙兩種商品後，甲商品加價，乙商品加價作為標價，後適逢元旦商場搞**活動，甲商品打八折銷售，乙商品打八五折銷售。某顧客購買甲、乙商品各一件，共付款元，已知商場共盈利元，求甲、乙兩種商品的進價。
7.（2023年雅安）某體育場的環行跑道長公尺，甲乙分別以一定的速度練習長跑和自行車，如果反向而行，那麼他們每隔秒相遇一次。如果同向而行，那麼每隔秒乙就追上甲一次。
甲、乙的速度分別是多少?
【方法小結】
隨著所學知識的難度的增加，學生通常會考慮如何把乙個複雜的問題化為幾個簡單的小問題去解決，如何綜合運用各種知識與手段去解決等等。那麼，在列方程(組)解應用題教學中，如何才能真正掌握這些輔助方法呢?
除了解題習慣外，會不會應用輔助方法是技能、是能力。因此，重要的是要利用平時的例題和練習多多練習解題的過程。在做題過程中可以自己來畫題目的圖示或**。
實際上，綜合一下進行分析，我們可以發現，數學語言互化問題是解答應用題的突破口。數學語言可分為文字語言、符號語言(數學式子)、圖形語言。文字語言轉化為符號語言或圖形語言是解答數學應用題的必經之路。
因而，數學應用題中的文字語言只有「翻譯」為符號語言或圖形語言後，方能建成數學模型來解決。上面第四點涉及文字語言→符號語言的轉化，第五點討**字語言→圖形語言(或**)→符號語言的轉化。概括地說，就是分析數量關係，建立數學模型(就一元二次方程的列方程解應用題來說，其數學模型單一而明確——方程)。
在研究一般性問題之前，先研究幾個簡單的、個別的、特殊的情況，從中歸納出一般的規律和性質，這種從特殊到一般的思維方式稱為歸納思想。布魯納指出：掌握基本數學思想和方法能使數學更易於理解和記憶，領會數學的基本思想和方法是通過遷移。
對於學生來說在例題、習題的教學與訓練中，領悟並發現規律，使知識的積累經歷從薄到厚，再由厚到薄的轉變，是鍛鍊數學思維的有效途徑。
【典型應用2】幾何證明題
【方法簡介】
在對歷年的中考試卷進行總結與歸納的過程中，我們發現幾何證明的問題既是中考難點，也是得分點，尤其是輔助線的新增更是經常作為中考最後的拉分題解決的關鍵，所以對於這類的問題是很值得我們去重視的。
在解決這類問題時，我們必須要注意的一點是對於已掌握的幾何知識進行靈活的運用，尤其是全等相似，特殊三角形的性質以及勾股定理的運用。
【應用場合】
中考中幾何證明題的解決。
【例題精講】
【應用一】----輔助線的新增
【題一】（2023年奧賽培訓試題)（1）求證：等邊三角形內的任意一點到兩腰的距離之和等於定長. （2）在三角形中，點是三角形內一點，連線、、，若，，求證：平分.
【略解】（1）已知：點是等邊三角形內的任意一點，過分別作三邊的垂線，分別交三邊於、、，求證：為定長；
證明：過點作,垂足為點，分別連線、、；因為，易得為定長；因此，等邊三角形內的任意一點到兩腰的距離之和等於定長.
（2）過作交延長線於，過作交延長線於；因為，所以，因此，得到；
進而，得到；因此，即平分.
【技巧貼士】該部分的題目解決的重點在於新增輔助線以及發現並證明圖中的全等三角形，由此可以得到之後解題所要用到的關鍵條件。
【應用二】----特殊三角形性質的運用
【題二】----等腰（直角）三角形
（2010湖南）在等腰直角三角形中，平行底邊交兩邊於,，連線和，作垂直並交於點，再作垂直於點，交延長線於點。求證.
【略解】證明：延長至使得,設與交於,連線交於,設,交於，設交於
先證明全等於,顯然三角形為等腰直角三角形, 三角形為等腰三角形，再證明全等於,再證全等於,再證全等於，再證全等於，易得三角形全等於三角形易證三角形全等於三角形,可得
【題三】----等邊三角形
（2023年內蒙古）是等邊三角形，延長到點，延長到點，並且
求證：.
【略解】證明：
（1）延長至點，使得，連線、
（2）易得，得到
（3）從而得到，所以
（4）易得是等邊三角形，所以
（5）因此
【技巧貼士】該類題的解題關鍵在於判斷該題中特殊三角形的型別，再根據其特殊性質新增輔助線從而解決此類問題。
【鞏固練習】
第一期第一部分基礎達標
1.（2023年湖南）已知：如圖，在正方形abcd中,m是bc的中點,點p在dc邊上,且ap=ab+cp.
省考面試熱點解析
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