第十一章：曲線積分與曲面積分
一、對弧長的曲線積分
若則原式=
對弧長的曲線積分
若則原式=
常見的引數方程為：
特別的：
二、對座標的曲線積分
計算方法一： 若起點處，終點處則
原式=對座標的曲線積分
起點處，終點處則
原式=計算方法二：在計算曲線積分時，通過適當的新增線段或曲線，是之變成乙個封閉曲線上的曲線積分與所新增線段或曲線上的曲線積分之差，從而對前者利用格林公式，後者利用引數方程。
如圖：三、格林公式其中l為d的正向邊界
特別地：當時，積分與路徑無關，
且 是某個函式的全微分
注：在計算曲線積分時，通過適當的新增線段或曲線，是之變成乙個封閉曲線上的曲線積分與所新增線段或曲線上的曲線積分之差，從而對前者利用格林公式。
四、對面積的曲面積分
1、 當曲面為
2、 當曲面為
3、 當曲面為
特別的：
例： 為上半球面
五、對座標的曲面積分
1、中，只能為，它在面的投影為，且外法向量與z軸正向的夾角為銳角，則原式=，否則為負；
2、中，只能為，它在面的投影為，且外法向量與y軸正向的夾角為銳角，則原式=，否則為負；
3、中，只能為，它在面的投影為，且外法向量與x軸正向的夾角為銳角，則原式=，否則為負；
計算方法：
=注：在計算曲面積分時，通過適當的新增平面或曲面，是之變成乙個封閉曲面上的曲面積分與所新增平面或曲面上的曲面積分之差，從而對前者利用高斯公式。
六、高斯公式
其中是的邊界曲面的外側。
注：在計算曲面積分時，通過適當的新增平面或曲面，是之變成乙個封閉曲面上的曲面積分與所新增平面或曲面上的曲面積分之差，從而對前者利用高斯公式。
例如：計算，其中是旋轉拋物面的部分曲面。
練習1、 求
2、 求
3、 求，其中為正常數，l從點a(2a,0)沿曲線到點o(0,0)的弧。
4、 計算,其中為由點到點的上半圓周
5、 計算，其中是由沿到的曲線段。
6、 計算，其中為球面
7、 計算，是被z=0所截部分的外側。
8、 計算，是方向為外側。
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