高二數學競賽班一試講義
第2講數列求和與數列不等式
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一、知識要點：
1．公式法：適用於等差、等比數列求和或可轉化為等差、等比數列求和的數列．
2．錯位相減法：若是等差數列，是等比數列，則求數列的前項和，常用錯位相減法。
3．分組求和法：把乙個數列分成幾個可以直接求和的數列；
4．裂項相消法：有時把乙個數列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項。
5．倒序相加法：類似於等差數列前項和公式的推導方法．
6．併項求和法：把數列的連續若干項並在一起組成一項，再求這些大項的和
7．數列求和不等式的證明方法：均值不等式法，利用有用結論，部分項放縮，添減項放縮，利用單調性放縮，換元放縮，遞推放縮，轉化為加強命題放縮，分奇偶項討論，數學歸納法。
二、例題精析
例1．（1）已知數列的通項公式，求數列的前項的和。
（2）已知數列的通項公式，求數列的前項的和。
例2．數列數列：即正整數有個，自小到大排列而成，
求及．例3．設，定義，求證：對一切正整數有
例4．（1）已知，，求證：。
2）已知函式，若，且在[0，1]上的最小值為，
求證：（02年全國聯賽山東預賽題）
例5．在數列中，已知，求證：
（1）； （2）。
例6．（1）求證
（2）設求證：
例7．已知數列的前項和滿足
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）證明：對任意的整數，有（04年全國卷ⅲ）
三、精選習題
1．已知兩個等差數列和的前項和分別為和，且，則這兩個
數列的第九項之比
2．求和
3．設數列滿足， ，求證：。
4．（07年高賽一試）設，求證：當正整數時，．
5．設數列滿足，當時證明對所有有
02年全國高考題）
6．已知（1）用數學歸納法證明；（2）對對都成立，證明（無理數）（05年遼寧卷第22題）
7．設數列滿足，證明：。
8．設，，，
求證：9．在數列中, ,且成等差數列,成等比數列.
（1）求及,由此猜測的通項公式,並證明你的結論;
（2）證明:.
10．乙個數列的前5項是1,2,3,4,5，從第6項開始，每項比前面所有項的乘積少1，證明：此數列的前70項的乘積恰是它們的平方和。
高二數學競賽班一試講義
第2講數列求和與數列不等式
例1．（1），
（2），
例2．解析用數學歸納法推時的結論，僅用歸納假設及遞推式
是難以證出的，因為出現在分母上！可以逆向考慮：
故將原問題轉化為證明其加強命題：
對一切正整數有（證明從略）
例3．解：先對正整數分段，第一段個數，第二段個數，第三段個數，…，第段有個數，而前段項數和為，前段項數和為，
如果，那麼，於是，當給定時，由此式解得，
，注意，於是等於
的整數部分，即，也就是，
由於數列第段由個組成，其和為，因此數列前段的總和為
；由於位於第段的第個數，而這些項全是，因此，
；其中．
例4．(1)令，則
兩式相減，
∴（2）簡析
例5．（1）
（2），
所以例6．（1）簡析本題可以利用的有用結論主要有：
法1 利用假分數的乙個性質可得 即
法2 利用貝努利不等式的乙個特例(此處)得
注：例4是2023年上海高考試題，以此題為主幹添「枝」加「葉」而編擬成2023年全國高考文科試題；進行公升維處理並加引數而成理科姊妹題。如理科題的主幹是：
證明(可考慮用貝努利不等式的特例)
（2）解析又（只將其中乙個變成，進行部分放縮），，
於是例7． 簡析 （ⅰ）；
（ⅱ）由於通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：
當且為奇數時
（減項放縮），於是
當且為偶數時
當且為奇數時（添項放縮）由知由得證。
1． 提示：
2．提示： 首項為，公比為。共項求和，
3．，，兩式相減，，
所以，則
4．證明：法1：由於，
因此 於是，對任意的正整數，有
＝， 即．
法2：，
又，所以，當正整數時，．
5．解析用數學歸納法：當時顯然成立，假設當時成立即，則當時，成立。
利用上述部分放縮的結論來放縮通項，可得
注：上述證明用到部分放縮，當然根據不等式的性質也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結論。
遞推放縮的典型例子，可參考上述例10中利用部分放縮所得結論進行遞推放縮來證明，同理例6中所得和、例7中、 例12（ⅰ）之法2所得都是進行遞推放縮的關鍵式。
如上述例10第問所證不等式右邊為常數，難以直接使用數學歸納法，我們可以通過從特值入手進行歸納探索、或運用逆向思維探索轉化為證明其加強命題：再用數學歸納法證明此加強命題，就容易多了（略）。
6．解析結合第問結論及所給題設條件（）的結構特徵，可得放縮思路：
。於是，
即注：題目所給條件（）為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論來放縮：，即
7．證明：先用數學歸納法證明乙個更一般的命題：，。
當時，，命題成立。
假設當時，命題成立，即，
則當時，有
故知對一切，均有，
所以8．證明：由，得 ①
從而兩式相除，得，
所以是公比為的等比數列，則，
由此得出。
注意到，則，故所以又
即9．解:（ⅰ）由條件得由此可得
．猜測．
用數學歸納法證明：
①當n=1時，由上可得結論成立．
②假設當n=k時，結論成立，即
，那麼當n=k+1時，
．所以當n=k+1時，結論也成立．
由①②，可知對一切正整數都成立．
（ⅱ）．
n≥2時，由（ⅰ）知．
故綜上，原不等式成立．
10．當時，，則，兩式相減，
即所以，，…，，
累加得，
所以，即
11．數列滿足：；
、求和的關係；、若，證明；
、若，證明． （中國科大自主招生）
11．解：、由，
，相減得
，所以，繼而有
所以，即… ①
、用數學歸納法，若，由得，
據此，；若已有，由①，
，因此在時結論也成立，故由數學歸納法，對一切正整數，．
、由①得… ②，若，則由得
，據歸納易見對一切，有，
所以由②，，因此
高二數學培優講義 數列不等式的證明 11
數列不等式的證明 1 一 本講要點 數列和不等式結合的問題，成為近年高考的熱點和難點，思維跨度大 構造性強。處理數列不等式問題的常用方法有 單調性法，放縮法，數學歸納法，對稱構造數列法等。求解策略是 通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特徵，抓住其規律進行恰當地放縮。二 例題選講 例1 20...
不等式講義
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