數列不等式的證明（1）
一、本講要點
數列和不等式結合的問題，成為近年高考的熱點和難點，思維跨度大、構造性強。處理數列不等式問題的常用方法有：單調性法，放縮法，數學歸納法，對稱構造數列法等。
求解策略是：通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特徵，抓住其規律進行恰當地放縮。
二、例題選講
例1．（2010全國卷2理數18改編）已知數列的前項和．
（ⅰ）求；
（ⅱ）證明：．
例2．設數列的前項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，數列的前項和為，求證：.
例3．設，求證：
例4．已知數列的各項都是正數，為其前項和，對於任意，滿足關係。
（1） 求數列的通項公式；
（2） 設數列的前項和為，且，求證：對於任意，總有
例5（2023年山東理20）．等比數列的前n項和為，已知對任意的,點，均在函式且均為常數的影象上.
（ⅰ）求r的值。
（ⅱ）當b=2時，記.w證明：對任意的，不等式成立。
三、鞏固練習：
1（2008江西卷19）．數列為等差數列，為正整數，其前項和為，數列為等比數列，且，數列是公比為64的等比數列，.
（1）求；
（2）求證.
2．設為數列的前項和，對任意的n，都有為常數，且．
（1）求證：數列是等比數列；
（2）設數列的公比，數列滿足， n，求數列的通項公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求證：數列的前項和．
3．已知各項均為正數的數列{}的前n項和滿足，且
（1）求{}的通項公式；
（2）設數列{}滿足，並記為{}的前n項和，求證：
4．在m（m≥2）個不同數的排列p1p2…pn中，若1≤i＜j≤m時pi＞pj（即前面某數大於後面某數），則稱pi與pj構成乙個逆序. 乙個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數. 記排列的逆序數為an，如排列21的逆序數，排列321的逆序數.
（ⅰ）求a4、a5，並寫出an的表示式；
（ⅱ）令，證明，n=1,2,….
5．設函式的最小值為，最大值為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求證：.
《數列不等式的證明（1）》參***
例1．（1）
（2），若簡單地舍項放縮：，
不能證明原式，故調整放縮幅度如下：
當時，，不等式成立。
當時，。故原不等式得證。
（這種保留若干項的放縮方法是一種常用的調整放縮幅度的方法）
證法二：設為數列的前項和，只須證即可證得原不等式。
可求出，下易證。（這種方法稱「對稱構造數列」法）
例2．(1) 解：當時，.
當時，.∵不適合上式,
∴（2）證明: ∵.
當時，當時. ②
①－②得:
得，此式當時也適合.
∴n.∵，
∴.當時，，
∴.∵，
∴.故，即.
綜上，．
（注意證明數列的單調性與證明函式的單調性的區別與聯絡）
例3．解：此數列的通項為
由易證。
上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成，則放過「度」了。
例4．解:
例5．解：因為對任意的,點，均在函式且均為常數的影象上.所以得,當時, ,當時, ,又因為{}為等比數列,所以,公比為,
（2）當b=2時，,
則,所以
下面用數學歸納法證明不等式成立.
1 當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立.
2 假設當時不等式成立,即成立.則當時,左邊=
所以當時,不等式也成立.由①、②可得不等式恆成立.
法2：利用假分數的乙個性質可得
，則，從而
。法3：利用貝努利不等式的乙個特例
得，得法4：構造數列
，則，，故。
鞏固練習：
1．解：（1）設的公差為，的公比為，則為正整數，
， 依題意有①
由知為正有理數，故為的因子之一，
解①得故
（2）∴
2．（1）證明：當時，，解得．……………………1分
當時2分
即．∵為常數，且3分
∴數列是首項為1，公比為的等比數列4分
（2）解：由（1）得5分
6分∴，即7分
∴是首項為，公差為1的等差數列8分
∴，即（n）．……………9分
（3）證明：由（2）知，則10分
所以，…………11分
當時12分
所以14分
3．（ⅰ）解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假設a1＝s1＞1，因此a1＝2。
又由an+1＝sn+1- sn＝，
得an+1- an-3＝0或an+1＝-an
因an＞0，故an+1＝-an不成立，捨去。
因此an+1- an-3＝0。從而｛an｝是公差為3，首項為2的等差數列，故｛an｝的通項為an＝3n-2。
（ⅱ）證法一：由可解得
；從而。
因此。令,則
。因，故
.特別的。從而，
即。證法二：同證法一求得bn及tn。
由二項式定理知當c＞0時，不等式
成立。由此不等式有
＝。證法三：同證法一求得bn及tn。
令an＝，bn＝，cn＝。
因，因此。
從而＞。
4．解 （ⅰ）由已知得，
.（ⅱ）因為，
所以.又因為，
所以=.
綜上，.
5．解：（1）由已知函式式可得，，由已知可知，令，得，已知函式最小值為，最大值為，，，。
（2），。又，
。因此，。
高二競賽講義數列不等式
高二數學競賽班一試講義 第2講數列求和與數列不等式 班級姓名 一 知識要點 1 公式法 適用於等差 等比數列求和或可轉化為等差 等比數列求和的數列 2 錯位相減法 若是等差數列，是等比數列，則求數列的前項和，常用錯位相減法。3 分組求和法 把乙個數列分成幾個可以直接求和的數列 4 裂項相消法 有時把...
不等式證明 高二數學
典型例題一 例1 若，證明 且 分析1 用作差法來證明 需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然後比較法證明 解法1 1 當時，因為，所以 2 當時，因為所以 綜合 1 2 知 分析2 直接作差，然後用對數的性質來去絕對值符號 解法2 作差比較法 因為，所以 說明 解法一用分類相當於增設了已知條件，便於...
高二數學不等式測試題
高二數學 必修5不等式 周測姓名 一 選擇題 1 下列說法正確的是 a a bac2 bc2 b a ba2 b2 c a ba3 b3d a2 b2a b 2.設a，b r，且a b，a b 2，則下列不等式成立的是 ab cd 3 下列各組不等式中，同解的一組是 a 與b 與 c 與 d 與 4...