常州市教育學會學生學業水平監測
高三數學ⅰ試題2023年1月
參考公式：
樣本資料，，… ，的方差，其中=．
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．
1． 設集合，，則
2． 若（，i為虛數單位），則的值為 ▲ ．
3． 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則a的值為 ▲ ．
4． 某學校選修羽毛球課程的學生中，高一，高二年級分別有80名，50名．現用分層抽樣的方法在這130名學生中抽取乙個樣本，已知在高一年級學生中抽取了24 名，則在高二年級學生中應抽取的人數為 ▲ ．
5． 某市連續5天測得空氣中pm2.5（直徑小於或等於2.5微公尺的顆粒物）的資料（單位：）分別為115，125，132，128，125，則該組資料的方差為 ▲ ．
6． 函式的最小正週期為 ▲ ．
7． 已知5瓶飲料中有且僅有2瓶是果汁類飲料．從這5瓶飲料中隨機取2瓶，則所取2瓶中至少有一瓶是果汁類飲料的概率為 ▲ ．
8． 已知實數，滿足約束條件則的最大值為 ▲ ．
9． 若曲線：與曲線：在處的切線互相垂直，則實數a的值為 ▲ ．
10． 給出下列命題：
（1）若兩個平面平行，那麼其中乙個平面內的直線一定平行於另乙個平面；
（2）若兩個平面平行，那麼垂直於其中乙個平面的直線一定垂直於另乙個平面；
（3）若兩個平面垂直，那麼垂直於其中乙個平面的直線一定平行於另乙個平面；
（4）若兩個平面垂直，那麼其中乙個平面內的直線一定垂直於另乙個平面．
則其中所有真命題的序號為 ▲ ．
11． 已知，等比數列中，，，若數列的前2014項的和為0，則的值為 ▲ ．
12． 已知函式f(x)＝若，則實數k的取值範圍為 ▲ ．
13． 在△abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若，，則 ▲ ．
14． 在平面直角座標系中，已知圓o：，點，m，n為圓o上不同的兩點，且滿足．若，則的最小值為 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）
在△abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c．設向量，．
（1）若，，求角a；
（2）若，，求的值．
16．（本小題滿分14分）
如圖，在直三稜柱中，ab⊥bc，e，f分別是，的中點．
（1）求證：ef∥平面abc；
（2）求證：平面⊥平面；
（3）若，求三稜錐的體積．
17．（本小題滿分14分）
設等差數列的公差為d，前n項和為，已知，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，為互不相等的正整數，且等差數列滿足，，求數列的前n項和．
18．（本小題滿分16分）
在平面直角座標系中，橢圓e:的右準線為直線l，動直線交橢圓於a，b兩點，線段ab的中點為m，射線om分別交橢圓及直線l於p，q兩點，如圖．若a，b兩點分別是橢圓e的右頂點，上頂點時，點的縱座標為（其中為橢圓的離心率），且．
（1）求橢圓e的標準方程；
（2）如果op是om，oq的等比中項，那麼是否為常數？若是，求出該常數；若不是，請說明理由．
19．（本小題滿分16分）
幾名大學畢業生合作開設列印店，生產並銷售某種產品．已知該店每月生產的產品當月都能銷售完，每件產品的生產成本為元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產品的生產成本，第二部分是其它固定支出元．假設該產品的月銷售量（件）與銷售**（元/件）（）之間滿足如下關係：①當時，；②當時，．設該店月利潤為（元），月利潤=月銷售總額－月總成本．
（1）求關於銷售**的函式關係式；
（2）求該列印店月利潤的最大值及此時產品的銷售**．
20．（本小題滿分16分）
已知函式，．
（1）當時，求函式的極大值；
（2）求函式的單調區間；
（3）當時，設函式，若實數滿足：且，，求證：．
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數學ⅱ（附加題2023年1月
21．【選做題】在a、b、c、d 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
a．選修4—1：幾何證明選講
如圖，等腰梯形abcd內接於⊙，ab∥cd．過點a作⊙的切線交cd的延長線於點e．
求證：∠dae=∠bac.
b．選修4—2：矩陣與變換
已知直線在矩陣對應的變換作用下得到直線，若直線過點（1,1），求實數a的值．
c．選修4—4：座標系與引數方程
在極座標系中，已知點，直線，求點p到直線l的距離．
d．選修4—5：不等式選講
已知，，求證：．
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
22． (本小題滿分10分)
如圖，三稜錐p－abc中，已知平面pab⊥平面abc，ac⊥bc，ac=bc=2a，點o，d分別是ab，pb的中點，po⊥ab，鏈結cd．
（1）若，求異面直線pa與cd所成角的余弦值的大小；
（2）若二面角a－pb－c的余弦值的大小為，求 pa．
23．（本小題滿分10分）
設集合a，b是非空集合m的兩個不同子集，滿足：a不是b的子集，且b也不是a
的子集．
（1）若m=，直接寫出所有不同的有序集合對(a,b)的個數；
（2）若m=，求所有不同的有序集合對(a,b)的個數．
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高三數學ⅰ試題參***及評分標準
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分
1． 2． 3． 4． 15 5．31.6（寫成也對） 6． 7．
8． 9． 10．（1）（2） 11． 12． 13．4 14．
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．解：（1）∵，∴．由正弦定理，得．
化簡，得2分
∵，∴或，
從而（舍）或4分
在rt△abc中6分
（2）∵，∴．
由正弦定理，得，從而．
∵，∴． 從而8分
10分 ∵，∴，從而，b為銳角，． ………12分
∴14分
16．證明：（1）鏈結．
∵直三稜柱中，是矩形，
∴點f在上，且為的中點．
在△中，∵e，f分別是，的中點， ∴ef∥bc． ……………2分
又∵bc 平面abc， ef平面abc，所以ef∥平面abc4分
（2）∵直三稜柱中，平面abc，∴bc．
∵ef∥bc，ab⊥bc，∴ab⊥ef， ef6分
∵，∴ef⊥平面8分
∵ef 平面aef，∴平面aef⊥平面10分
（312分
14分17．解：（1）由已知，得解得4分
6分（2），為正整數， 由（1）得8分
進一步由已知，得10分
∵是等差數列，，∴的公差． ………………12分
由，得．
14分18． 解：當a，b兩點分別是橢圓e的右頂點和上頂點時，則，，．
∵，∴由o，m，q三點共線，得，化簡，得．………2分
∵，∴，化簡，得．
由解得4分
（1）橢圓e的標準方程為6分
（2）把，代入，得
8分當△，時，，，
從而點10分
所以直線om的方程．
由得12分
∵op是om，oq的等比中項，∴，
從而14分
由，得，從而，滿足△． ……………15分
∴為常數16分
19．解：（1）當時，，代入，
解得2分
∴即 ……………4分
（注：寫到上一步，不扣分．）
（2）設，，，則
．令，解得（捨去），．……………7分
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減10分
∵，，，∴的最大值為．………12分
當時，單調遞減，
故此時的最大值為14分
綜上所述，當時，月利潤有最大值元15分
答：該列印店店月利潤最大為元，此時產品的銷售**為元/件． ……16分
20．解：函式的定義域為．
（1）當時，，，令得． ………1分
列表： 所以的極大值為3分
(2) ．
令，得，記．
（ⅰ）當時，，所以單調減區間為； …………5分
（ⅱ）當時，由得，
①若，則，
由，得，；由，得．
所以，的單調減區間為，，
單調增區間為7分
②若，由（1）知單調增區間為，單調減區間為；
③若，則，由，得；由，得．
的單調減區間為，單調增區間為． ……9分
綜上所述：當時，的單調減區間為；
當時，的單調減區間為，，單調增區間為；
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