在優化組合中，有一類關鍵問題為染色問題，最為出名的則是」四色定理」，也就是用四種不相同的顏色將地圖上各個國家標出，保證相鄰的國家顏色互不相同。 染色問題針對的模型就是給n個區域染色，有n種顏色可供選擇，要求相鄰的區域顏色不同，一共有多少種不同染色方法？
關於解法無非有具體針對的兩類。
一，顏色備用型，就是顏色可以不用完。 1，如果是直鏈型，第乙個有n種剩下的都為n-1種，則直鏈型共有n乘以(n-1)的（n-1）次方。2，如果區域是地圖型，如乙個大圓，裡邊還有乙個小圓，將圓環分為四個部分，給這五個區域染色，推導過程:
（1），給公共相鄰的區域先染色，共有n種不同方法。（2），給其中乙個區域染色，則共有n-1種方法。（3），給另乙個區域染色。
則共有n-2種方法。（4），給再乙個區域染色則當與第二個區域相同時，則有一種方法，與第二個不同時，則有n-3種方法。（5），給最後乙個區域染色，則與上個與第二個相同時，則有n-3種方法，當不同時則有n-3種方法。
綜上則根據加法與乘法原理得共有n(n-1)(n-2)[(n-2)+(n-3)(n-3)]。3，當圖形為正方體時，給六個面染色時，利用上面相同的推導原理，根據加法與乘法原理得染色計算方法運算關係為n(n-1)(n-2)(n-2)+2n(n-1)(n-2)(n-3)+n(n-1)(n-3)(n-4)(n-4)種不同染色方法。
二，顏色用完型，也就是顏色必須用完，對於此類問題n必須小於等於n，如是區域種植問題，還是上面第一類圖形，大圓中有個小圓，圓環有四部分，用四種顏色圖，共有多少種不同染色方法，根據推導過程，根據乘法與加法原理得共有48種不同染色問題。區域種植問題還是上面第一類圖形，大圓中有個小圓，圓環有五部分，用四種顏色圖，共有多少種不同染色方法，根據推導過程，根據乘法與加法原理得共有120種不同染色問題。如果是直鏈型，如三種作物種五塊地，根據乘法與加法原理得共有42種不同染色問題。
染色問題介紹及其背景，組合發展到現在已有許多分支著色理論是其中之一且有著極其重要的地位。它起源於150年前的「四色猜想」即在乙個平面或球面上的任何地圖都能夠只用四種顏色著色使得每個國家用一種顏色，且沒有兩個相鄰的國家有相同的顏色。給出了乙個簡化的計算機證明。
儘管迄今為止仍沒有得到非計算機的理論性證明但人們在衝擊「四色猜想」的過程中所創造的新的思想、方法和技巧為圖論寶庫增添了乙個又乙個精彩結果。 圖著色理論的意義遠不止如此。。所以著色問題是解決諸如時間表問題、排序問題、排課表問題、交通狀態、運輸安排、電路設計和貯藏問題等涉及任務分配的實際問題的基本方法。
再者圖著色理論在離散數學領域有著非常重要的地位其中許多貌似無關的問題都可以轉化為圖著色問題。列表著色(可選擇性)、強邊著色(有兩種不同的著色使用了這一名詞)、鄰強邊著色、關聯著色、圈著色、無圈著色、距離面著色、區間著色、子著色、(平面圖)邊面著色、點邊面完備著色及動態著色等已成為現在圖著色領域新的熱點。許多新的著色是一些過去未解決的問題轉化而來使原問題變得更加簡單易懂便於研究。
研究範圍的拓寬給著色領域增加了許多尚未解決的問題。由此可見圖著色理論有著旺盛的生命力和廣闊的發展前景。 2.
關於邊染色問題圖的染色理論是圖論中的乙個重要分支。圖的染色種類有很多諸如邊染色、點染色、面染色和全染色等。其中研究最多結果也較完善的就是圖的邊染色。
而其中關於正常邊染色的圖的分類問題一直是研究的熱點。圖的正常的邊染色就是把圖的邊集分解為一些互不相交的邊的獨立集的並的方法。
染色問題具有重要的實際意義和理論意義。染色基本問題就是確定各種染色法的色數。隨著組合領域研究的不斷深入關於點染色的成果也不斷深入。
研究了點可區別的正常染色之後又對鄰邊強染色相鄰點可區別染色進行了討論。隨後提出了點可區別的正常染色和鄰點可區別的正常全染色並對圈、完全圖、完全二部圖、扇、輪、樹和奇數階完全圖刪去一邊所得到的圖的鄰邊可區別染色進行了討論確定了這些圖的鄰點可區別的正常全染色。
雖然圖的染色問題已經取得了不少的理論研究及應用研究成果。但是染色問題的原本問題——「四色猜想」迄今仍未得到令人滿意的結果。致使 「四色定理」的證明成為懸而未解得一大世界數學難題。
由於這一數學難題歷時140多年而尚未解決這就不能不使一些數學家們想到很可能「四色定理」的證明必然伴隨著乙個全新的數學方法的誕生以至形成乙個全新的數學分支，若果真如此研究「四色問題」的意義就遠遠地超出其染色本身了。這將是數學家們對數學發展的乙個重大貢獻，其意義在現今是無法估量的。科學發展史就是如此。
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