考點1：排列，圓排列，組合
1、21個人沿著圓桌坐下，一張桌子坐10人，一張坐11人，試問有多少種坐法。
解：首先從21個人中間選10個人坐第一張桌子，然後對第一張桌子上的10人進行圓排列，最後對第二張桌子上的11人進行圓排列，故一共有的坐法種數為
考點2：容斥原理
2、有100人參加考試，考題有甲乙丙三題，其中12名學生三題全對，18名學生只做對甲乙，16名學生只做對甲丙，28名學生做對乙丙，48名學生做對甲，20名學生做對乙，56名學生三題都沒做對，請問做對丙題的學生有多少人？
解：令為參加考試的學生的集合，為做對甲題的學生的集合，為做對乙題的學生的集合，為做對丙題學生的集合，則由題意可得，，，，，，，
根據容斥原理可得：
解得，故做對丙題的學生有人。
考點3：polya定理
3、用三種顏色對正四面體各面進行著色，試用polya定理求不同的方案。
解：(1)繞過頂點的中心線旋轉，，
旋轉的置換群為，，，，
共9種 (2)繞兩條不相交的稜的中點的連線旋轉
旋轉的置換群為，，
根據polya定理，
故共有15種不同的方案。
考點4：指數型母函式
4、由2，3，4，5，6，7組成乙個8位數，3和5出現在偶數字，2和4至少出現1次的6位數的個數有多少個？
解：設滿足條件的8位數個數為，序列對應的指數型母函式為
3和5出現在偶數字 2和4至少出現1次對應剩下的數字
故，將代入
考點5：冪函式型母函式
5、求的冪級型母函式
解：設為序列的冪級型母函式，根據冪函式型母函式的定義得
故的冪級型母函式
考點6：遞迴關係
6、根據遞迴關係，求解
解：因為
所以，則有同理 ·····②
以上①②兩式相減得 ·····③
同理得 ·····④
以上③④兩式相減可得
·····⑤
再同理得 ·····⑥
以上⑤⑥兩式相減可得
因此對應的特徵方程為
化簡得，因此是四重根
所以一般解為
由於，，，
所以，解得
因此考點7：鴿巢原理
7、設有對夫婦，為保證能夠有一對夫婦被選出，至少需要從這個人中選出多少人?
解：在這種情況下可以利用鴿巢原理，考慮個盒子，其中每個盒子對應一對夫婦，現將對夫婦從1到編號。在選人的過程中，若從第對夫婦中選出的人，就放到第個盒子中，那麼當選出人時，必有乙個盒子中有2個人，即有一對夫婦已經被選出。
而選出人時，可能會發生恰好選出所有的丈夫或所有的妻子的情況。因此是保證能有一對夫婦被選出的的最少人數。
考點8：群的定義
8、 證明在整數集中，這個是個群。
證明：(1) 因為存在任意的，必定，
所以滿足群的封閉性。
(2) 取任意的，
因為，所以滿足群的結合性。
(3) 因為存在任意，，
顯然存在么元。
(4) 因為存在任意，，
顯然存在逆元
以上滿足群的4個條件，因此它是個群，得證。
考點9：二項式定理
9、證明
證明：根據二項式定理可知
將等式兩邊對從0到2積分得
所以可得
化簡可得
進一步化解可得
所以成立，得證。
考點10：線性規劃問題
10、配料問題：某農藥廠要用三種原料t、p、h。混合調配出a、b、c三種不同的農藥產品，已知產品的規格要求和單價如下表1所示，每天能**的原料的數量和單價如下表2所示。
問：該廠應該如何安排生產才能獲利最大。
表1表2
解：設為產品中的成份→，
為產品中的成份→，
為產品中的成份→，
為產品中的成份→，
為產品中的成份→，
為產品中的成份→，
為產品中的成份→，
為產品中的成份→，
為產品中的成份→，
根據條件可得：
，，，，，，
由上式條件可得：
又由於原料**量總額限定已給，加入到a、b、c的原材料t的總量最多為100公斤，p的總量最多為100公斤，h的總量不超過60公斤，因此可得：
目的是使利潤最大，即產品**減去原材料**最大，產品的**為：
→產品a
→產品b
→產品c
原料**為：
→原料t
→原料p
→原料h
目標函式為：
max約束條件為：
上述數學模型，計算結果是：每天只生產產品a200公斤，分別需要原料t100公斤，p50公斤，h50公斤。總利潤最大，元/天。
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