2023年09月13日的初中數學組卷（相似壓軸題）
一．選擇題（共10小題）
1．（2014武漢模擬）如圖△abc≌△dec，公共頂點為c，b在de上，則有結論①∠acd=∠bce=∠abd；②∠dac+∠dbc=180°；③△adc∽△bec；④cd⊥ab，其中成立的是（ ）
2．（2014合川區校級模擬）如圖，abcd、cefg是正方形，e在cd上，直線be、dg交於h，且hehb=，bd、af交於m，當e**段cd（不與c、d重合）上運動時，下列四個結論：①be⊥gd；②af、gd所夾的銳角為45°；③gd=；④若be平分∠dbc，則正方形abcd的面積為4．其中正確的結論個數有（ ）
3．（2014牡丹江三模）如圖，正方形abcd中，p為對角線上的點，pb=ab，連pc，作ce⊥cp交ap的延長線於e，ae交cd於f，交bc的延長線於g，則下列結論：①e為fg的中點；②fg2=4cfcd；③ad=de；④cf=2df．其中正確的個數是（ ）
4．（2012孝南區校級模擬）如圖，在銳角△abc中，∠bac=60°，bd、ce為高，f為bc的中點，連線de、df、ef，則結論：①b、e、d、c四點共圓；②adac=aeab；③△def是等邊三角形；④當∠abc=45°時，be=de中，一定正確的有（ ）
5．（2012沙坪壩區校級二模）如圖，p、q是矩形abcd的邊bc和cd延長上的兩點，ap與cq相交於點e，且∠pad=∠qad，則①dq=de；②∠bap=∠aqe；③aq⊥pq；④eq=2cp；⑤s△apq=s矩形abcd．下列四個結論中正確的是（ ）
6．（2011河北模擬）將三角形紙片△abc按如圖所示的方式摺疊，使點b落在邊ac上，記為點b′，摺痕為ef．已知ab=ac=6，bc=8，若以點b′，f，c為頂點的三角形與△abc相似，那麼bf的長度是（ ）
7．（2011台州校級模擬）如圖，rt△abc中，ac⊥bc，ad平分∠bac交bc於點d，de⊥ad交ab於點e，m為ae的中點，bf⊥bc交cm的延長線於點f，bd=4，cd=3．下列結論：①∠aed=∠adc；②=；③acbe=12；④3bf=4ac．其中結論正確的個數有（ ）
8．（2009漳州自主招生）如圖，在△abc中，ac=15，bc=18，cosc=，de∥bc，df⊥bc，若s△bfd=2s△bde，則cd長為（ ）
9．（2005寧夏）如圖，abcd中，點e、f分別是ad、ab的中點，ef交ac於點g，那麼ag：gc的值是（ ）
10．（2001杭州）如圖，在正三角形abc中，d，e分別在ac，ab上，且，ae=be，則有（ ）
二．填空題（共10小題）
11．（2015莘縣二模）如圖，n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設△b2d1c1的面積為s1，△b3d2c2的面積為s2，…，△bn+1dncn的面積為sn，則s2= ；sn= ．（用含n的式子表示）
12．（2013安徽模擬）如圖，△abc中，cd⊥ab於d，由下列條件中的某乙個就能推出△abc是直角三角形的是 ．（把所有正確答案的序號都填寫在橫線上）
①∠acd=∠b；②∠a：∠b：∠c=4：3：5；③acbc=abcd；④．
13．（2012資陽）如圖，o為矩形abcd的中心，m為bc邊上一點，n為dc邊上一點，on⊥om，若ab=6，ad=4，設om=x，on=y，則y與x的函式關係式為 ．
14．（2012蕭山區校級模擬）如圖，直角三角形abc中，∠c=90°，ac=1，bc=2，p為斜邊ab上一動點．pe⊥bc，pf⊥ca，則線段ef長的最小值為 ．
15．（2011通州區一模）已知△abc中，ab=ac=m，∠abc=72°，bb1平分∠abc交ac於b1，過b1作b1b2∥bc交ab於b2，作b2b3平分∠ab2b1，交ac於b3，過b3作b3b4∥bc，交ab於b4…依次進行下去，則b9b10線段的長度用含有m的代數式可以表示為 ．
16．（2009瀘州）如圖，已知rt△abc中，ac=3，bc=4，過直角頂點c作ca1⊥ab，垂足為a1，再過a1作a1c1⊥bc，垂足為c1，過c1作c1a2⊥ab，垂足為a2，再過a2作a2c2⊥bc，垂足為c2，…，這樣一直做下去，得到了一組線段ca1，a1c1，c1a2，…，則ca1
17．（2013北京一模）如圖所示，在△abc中，bc=6，e，f分別是ab，ac的中點，點p在射線ef上，bp交ce於d，點q在ce上且bq平分∠cbp，設bp=y，pe=x．當cq=ce時，y與x之間的函式關係式是 ；當cq=ce（n為不小於2的常數）時，y與x之間的函式關係式是 ．
18．（2008溫州）如圖，點a1，a2，a3，a4在射線oa上，點b1，b2，b3在射線ob上，且a1b1∥a2b2∥a3b3，a2b1∥a3b2∥a4b3．若△a2b1b2，△a3b2b3的面積分別為1，4，則圖中三個陰影三角形面積之和為 ．
19．（2009孝感）如圖，點m是△abc內一點，過點m分別作直線平行於△abc的各邊，所形成的三個小三角形△1，△2，△3（圖中陰影部分）的面積分別是4，9和49．則△abc的面積是 ．
20．（2013武漢模擬）如圖，直角梯形abcd中，ad∥bc，∠bac=∠adc=90°，ab=ac，ce平分∠acb交ab於點e，f為bc上一點，bf=ae，連線af交ce於點g，連線dg交ac於點h．下列結論：
①af⊥ce；②△abf∽△dga；③af=dh；④．
其中正確的結論有 ．
三．解答題（共10小題）
21．（2014濱州）如圖，矩形abcd中，ab=20，bc=10，點p為ab邊上一動點，dp交ac於點q．
（1）求證：△apq∽△cdq；
（2）p點從a點出發沿ab邊以每秒1個單位長度的速度向b點移動，移動時間為t秒．
①當t為何值時，dp⊥ac？
②設s△apq+s△dcq=y，寫出y與t之間的函式解析式，並**p點運動到第幾秒到第幾秒之間時，y取得最小值．
22．（2013上城區二模）如圖①，正方形abcd中，點a，b的座標分別為（0，10），（8，4），點c在第一象限．動點p在正方形abcd的邊上，從點a出發沿a→b→c→d→a勻速運動，同時動點q在x軸正半軸上運動，當點p到達a點時，兩點同時停止運動，點p的運動速度是點q的5倍，設運動的時間為t秒．點q的橫座標x（單位長度）關於運動時間t（秒）的函式圖象如圖②所示．
（1）請寫出點q開始運動時的座標及點p的運動速度；
（2）當點p在邊ab上運動時，求△opq的面積最大時點p的座標；
（3）如果點p，q保持原速度不變，當點p沿a→b→c→d→a勻速運動時，op與pq能否相等？若能，直接寫出所有符合條件的t的值．
23．（2015成都模擬）已知點e在△abc內，∠abc=∠ebd=α，∠acb=∠edb=60°，∠aeb=150°，∠bec=90°．
（1）當α=60°時（如圖1），
①判斷△abc的形狀，並說明理由；
②求證：bd=ae；
（2）當α=90°時（如圖2），求的值．
24．（2015宜城市模擬）如圖，在平面直角座標系xoy中，矩形aocd的頂點a的座標是（0，4），現有兩動點p、q，點p從點o出發沿線段oc（不包括端點o，c）以每秒2個單位長度的速度，勻速向點c運動，點q從點c出發沿線段cd（不包括端點c，d）以每秒1個單位長度的速度勻速向點d運動．點p、q同時出發，同時停止，設運動時間為t秒，當t=2秒時．
（ⅰ）求點d的座標，並直接寫出t的取值範圍；
（ⅱ）連線aq並延長交x軸於點e，把ae沿ad翻摺交cd延長線於點f，連線ef，則△aef的面積s是否隨t的變化而變化？若變化，求出s與t的函式關係式；若不變化，求出s的值．
（ⅲ）在（ⅱ）的條件下，t為何值時，pq∥af？
25．（2014紹興）如圖，在平面直角座標系中，直線l平行x軸，交y軸於點a，第一象限內的點b在l上，鏈結ob，動點p滿足∠apq=90°，pq交x軸於點c．
（1）當動點p與點b重合時，若點b的座標是（2，1），求pa的長．
（2）當動點p**段ob的延長線上時，若點a的縱座標與點b的橫座標相等，求pa：pc的值．
（3）當動點p在直線ob上時，點d是直線ob與直線ca的交點，點e是直線cp與y軸的交點，若∠ace=∠aec，pd=2od，求pa：pc的值．
26．（2014徐州模擬）如圖，矩形abcd的邊ab=6cm，bc=4cm，點f在dc上，df=2cm．動點m、n分別從點d、b同時出發，沿射線da、線段ba向點a的方向運動（點m可運動到da的延長線上），當動點n運動到點a時，m、n兩點同時停止運動．連線fm、fn，當f、n、m不在同一直線時，可得△fmn，再連線△fmn三邊的中點得
△pqw．設動點m、n的速度都是1cm/s，m、n運動的時間為ts．
（1）試說明△fmn∽△qwp；
（2）在點m運動的過程中，
①當t為何值時，線段mn最短？並求出此時mn的長．
②當t為何值時，△pqw是直角三角形？
27．（2014長春一模）如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，ac=8cm，ab=10cm．點p從點a出發，以5cm/s的速度從點a運動到終點b；同時，點q從點c出發，以3cm/s的速度從點c運動到終點b，鏈結pq；過點p作pd⊥ac交ac於點d，將△apd沿pd翻摺得到△a′pd，以a′p和pb為鄰邊作a′pbe，a′e交射線bc於點f，交射線pq於點g．設a′pbe與四邊形pdcq重疊部分圖形的面積為scm2，點p的運動時間為ts．
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