第17章勾股定理
點選一：勾股定理
勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那麼a2＋b2 = c2．
即直角三角形兩直角的平方和等於斜邊的平方．
因此，在運用勾股定理計算三角形的邊長時，要注意如下三點：
（1）注意勾股定理的使用條件：只對直角三角形適用，而不適用於銳角三角形和鈍角三角形；
（2）注意分清斜邊和直角邊，避免盲目代入公式致錯；
（3）注意勾股定理公式的變形：在直角三角形中，已知任意兩邊，可求第三邊長． 即c2= a2＋b2，a2= c2－b2，b2= c2－a2．
點選二：學會用拼圖法驗證勾股定理
拼圖法驗證勾股定理的基本思想是：借助於圖形的面積來驗證，依據是對圖形經過割補、拼接後面積不變的原理．
如，利用四個如圖1所示的直角三角形三角形，拼出如圖2所示的三個圖形．
請讀者證明．
如上圖示，在圖（1）中，利用圖1邊長為a，b，c的四個直角三角形拼成的乙個以c為邊長的正方形，則圖2（1）中的小正方形的邊長為（b－a），面積為（b－a）2，四個直角三角形的面積為4×ab = 2ab．
由圖（1）可知，大正方形的面積 =四個直角三角形的面積＋小正方形的的面積，即c2 =（b－a）2＋2ab，則a2＋b2 = c2問題得證．
請同學們自己證明圖（2）、（3）．
點選三：在數軸上表示無理數
將在數軸上表示無理數的問題轉化為化長為無理數的線段長問題．第一步：利用勾股定理拆分出哪兩條線段長的平方和等於所畫線段（斜邊）長的平方，注意一般其中一條線段的長是整數；第二步：以數軸原點為直角三角形斜邊的頂點，構造直角三角形；第三步：
以數軸原點圓心，以斜邊長為半徑畫弧，即可在數軸上找到表示該無理數的點．
點選四：直角三角形邊與面積的關係及應用
直角三角形有許多屬性，除邊與邊、邊與角、角與角的關係外，邊與面積也有內的聯絡.設、為直角三角形的兩條直角邊，為斜邊，為面積，於是有：
，，，所以.即.
也就是說，直角三角形的面積等於兩直角邊和的平方與斜邊平方差的四分之一.利用該公式來計算直角三角形的有關面積、周長、斜邊上的高等問題，顯得十分簡便.
點選五：熟練掌握勾股定理的各種表達形式．
如圖2，在rt中, 0,∠a、∠b、∠c的對邊分別為a、b、c,則c2=a2+b2, a2=c2-b2 , b2=c2-a2,
點選六：勾股定理的應用
（1）已知直角三角形的兩條邊，求第三邊；
（2）已知直角三角形的一邊，求另兩條邊的關係；
（3）用於推導線段平方關係的問題等．
（4）用勾股定理，在數軸上作出表示、、的點，即作出長為的線段．
針對練習:
1．下列說法正確的是（ ）
a．若 a、b、c是△abc的三邊，則a2＋b2＝c2
b．若 a、b、c是rt△abc的三邊，則a2＋b2＝c2
c．若 a、b、c是rt△abc的三邊，，則a2＋b2＝c2
d．若 a、b、c是rt△abc的三邊，，則a2＋b2＝c2
2．乙個直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，下列說法正確的是（ ）
a．斜邊長為25b．三角形周長為25
c．斜邊長為5d．三角形面積為20
3．如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，則網格上的三角形abc中，邊長為無理數的邊數是（ ）
a． 0b． 1 c． 2d． 3
4．如圖，數軸上的點a所表示的數為x，則x2—10的立方根為（ ）
a． -10 b．--10 c．2d．-2
5．把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，則斜邊擴大到原來的（ ）
a． 2倍b． 4倍c． 6倍d． 8倍
6．小明想知道學校旗桿的高，他發現旗桿上的繩子垂到地面還多1 m，當它把繩子的下端拉開5 m後，發現下端剛好接觸地面，則旗桿的高為 （ ）
a．8cm b．10cm c．12cm d．14cm
7．△abc中，ab＝15，ac＝13，高ad＝12，則△abc的周長為（ ）
a．42 b．32c．42 或 32 d．37 或 33
8．如圖，直線上有三個正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（ ）
（ａ）461655
9.已知直角三角形的周長為2＋，斜邊上的中線為1，求它的面積.
10.直角三角形的面積為120，斜邊長為26，求它的周長.
11.如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab於d，ab=13cm，ac於bc之和等於
17cm，求cd的長.
型別之一：勾股定理
例1：如果直角三角形的斜邊與一條直角邊的長分別是13cm和5cm，那麼這個直角三角形的面積是 cm2．
解析：欲求直角三角形的面積，已知一直角三角形的斜邊與一條直角邊的長，則求得另一直角邊的長即可． 根據勾股定理公式的變形，可求得．
解：由勾股定理，得
132－52=144，所以另一條直角邊的長為12．
所以這個直角三角形的面積是×12×5 = 30（cm2）．
例2： 如圖3(1),乙隻螞蟻沿稜長為a的正方體表面從頂點a爬到
頂點b,則它走過的最短路程為( )
a． b． c．3a d．
解析:本題顯然與例2屬同種型別,思路相同．但正方體的
各稜長相等,因此只有一種展開圖．
解:將正方體側面展開得,如圖3⑵．
由圖知ac=2a,bc=a．
根據勾股定理得
故選d．
型別之二：在數軸上表示無理數
例3：在數軸上作出表示的點．
解析：根據在數軸上表示無理數的方法，需先把視為直角三角形斜邊的長，再確定出兩直角邊的長度後即可在數軸上作出．
解：以為斜邊的直角三角形的兩直角邊可以是3和1，所以需在數軸上找出兩段分別長為3和1的線段，如圖所示，然後即可確定斜邊長，再用圓規在數軸上作出長為的線段即可．
下面的問題是關於數學大會會標設計與勾股定理知識的綜合運用
例5：閱讀材料，第七屆國際數學教育大會的會徽．它的主題圖案是由一連串如圖所示的直角三角形演化而成的．設其中的第乙個直角三角形oa1a2是等腰三角形，且oa1=a1a2=a2a3=a3a4=……=a8a9=1，請你先把圖中其它8條線段的長計算出來，填在下面的**中，然後再計算這8條線段的長的乘積．
解：；；；；；；；；這8條線段的長的乘積是
例6：2023年8月在北京召開的國際數學家大會會標取材於我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的乙個大正方形（如圖所示）．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那麼的值為（ ）
（a）13 （b）19 （c）25 （d）169
解析：由勾股定理，結合題意得a2+b2=13 ①.
由題意，得 (b-a)2=1 ②.
由②，得 a2+b2-2ab =1 ③.
把①代入③，得 13-2ab=1
∴ 2ab=12.
∴ (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.
因此，選c.
說明：2023年8月20日~28日，我國在首都北京成功舉辦了第24屆國際數學家大會. 這是在發展中國家舉行的第一次國際數學家大會，也是多年來在我國舉行的最重要的一次國際會議.
它標誌著我國數學已度過了六百多年的低谷，進入了數學大國的行列，並向著新世紀成為數學強國邁開了步伐. 這次大會的會標如下圖所示：
它取材於我國三國時期（公元3世紀）趙爽所著的《勾股圓方圖注》.
型別之四：勾股定理的應用
（一）求邊長
例1： 已知：如圖，在△abc中，∠acb＝90，ab＝5cm，bc＝3cm，cd⊥ab於d，求cd的長. .
（二）求面積
例2：（1）觀察圖形思考並回答問題（圖中每個小方格代表乙個單位面積）
①觀察圖1－1.
正方形a中含有個小方格，
即a的面積是個單位面積；
正方形b中含有個小方格，
即b的面積是個單位面積；
正方形c中含有個小方格，即c的面積是個單位面積.
②在圖1－2中，正方形a，b，c中各含有多少個小方格？它們的面積各是多少？
③你能發現圖1－1中三個正方形a，b，c的面積之間有什麼關係嗎？圖1－2中的呢？
（2）做一做：
①觀察圖1－3、圖1－4，並填寫下表：
②三個正方形a，b，c的面積之間有什麼關係？
（3）議一議：
①你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？
②你能發現直角三角形三邊長度之間存在什麼關係嗎？
③分別以5厘公尺、12厘公尺為直角邊作出乙個直角三角形，並測量斜邊的長度，②中的規律對這個三角形仍然成立嗎？
解析： 注意到圖中每個小方格代表乙個單位面積，通過觀察圖形不能得到答案：
①9 9 9 9 18 18；
②a中含4個，b中含4個，c中含8個，面積分別為4，4，8；
③a與b的面積之和等於c，圖1－2中也是a與b的面積之和等於c.
（2）①答案：
②答案：.
（3）答案：①設直角三角形三邊長分別為a，b，c（如圖）
； ②，
. ③成立.
（三）作線段
例3 作長為、、的線段．
解析： 作法：1．作直角邊長為1（單位長）的等腰直角三角形acb（如圖）；
2．以斜邊ab為一直角邊，作另一直角邊長為1的直角三角形abb1；
3．順次這樣作下去，最後作到直角三角形ab2b3，這時斜邊ab、ab1、ab2、ab3的長度就是、、、．
證明：根據勾股定理，在rt△acb中，
∵ab>0，
∴ab=．
其他同理可證．
點評由勾股定理，直角邊長為1的等腰直角三角形，斜邊長就等於，直角邊長為、1的直角三角形的斜邊長就是．類似地也可作出……；將上圖無限地向兩個方向畫下去就可得到「勾股樹」，請你試試看．
（四）證明平方關係
例4： 已知：如圖，在中，，是邊上的中線，於，求證：.
解析： 根據勾股定理，在中，，
在中，，在中，，∴.
又∵，∴.
點評證明線段的平方差或和，常常要考慮到運用勾股定理；若無直角三角形，則可通過作垂線的方法，構成直角三角形，以便為運用勾股定理創造必要的條件.
初二上評語
孫康 你是乙個很有上進心的孩子，能嚴格遵守學校紀律，有較強的集體榮譽感，積極參加各類活動。各科基礎知識比較紮實，學習目的明確，態度端正，成績一直保持優秀。老師信任你，同學們敬佩你。但請你記住 世之奇偉 瑰怪 非常之觀常在於險遠而人之所罕至焉 在以後的學習生活中，希望你再接再厲，把好習慣堅持下去！邵暮...
初二數學勾股定理期末複習
一 選擇 1.在rt abc中，c 90，周長為60，斜邊與一條直角邊之比為13 5，則這個三角形三邊長分別是 a 5 4 3 b 13 12 5 c 10 8 6 d 26 24 10 2.下列各組線段中的三個長度 9 12 15 7 24 25 32 42 52 3a 4a 5a a 0 m2 ...
初二數學勾股定理知識點及習題
勾股定理 勾股定理 直角三角形的兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。即 常見勾股數 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25。這個一定要牢記於心。考點一 勾股定理的直接應用 例1.正方形的面積是2，它的對角線長為 a 1 b 2 c d例2圖 例2 如圖，由rt abc的...