等差數列的概念與通項公式
a組基礎鞏固
1．為等差數列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d等於( )
a．－2 b．－
c. d．2
解析：根據題意，得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，∴a1＝1.又∵a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－.
答案：b
2．等差數列中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，則n為( )
a．50 b．49
c．48 d．47
解析：設等差數列的公差為d，由題意得a1＋d＋a1＋4d＝4，又a1＝，所以d＝.又an＝a1＋(n－1)d＝33，所以n＝50.
答案：a
3．在等差數列中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為( )
a．20 b．30
c．40 d．50
解析：∵a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20，∴3a9－a13＝3(a1＋8d)－(a1＋12d)＝2a1＋12d＝2(a1＋6d)＝2a7＝40.故選c.
答案：c
4．首項為－24的等差數列，從第10項開始為正數，則公差d的取值範圍是( )
a．d> b．d<3
c.≤d<3 d. 解析：從第10項開始為正數，則答案：d
5．若是等差數列，下列數列中仍為等差數列的有( )
①；②；③(p、q為常數)；④．
a．1個 b．2個
c．3個 d．4個
解析：數列－1,1,3等差，取絕對值後：1,1,3不等差，①錯．若等差，利用等差數列的定義，為常數列，故等差．若的公差為d，則等差．(2an＋n)－(2an－1＋n－1)＝2(an－an－1)＋1＝2d＋1，故等差，所以②③④均成立，選c.
答案：c
6．已知點(n，an)(n∈n*)都在直線3x－y－24＝0上，那麼在數列中有( )
a．a7＋a9>0 b．a7＋a9<0
c．a7＋a9＝0 d．a7·a9＝0
解析：∵(n，an)在直線3x－y－24＝0，
∴an＝3n－24，
∴a7＝3×7－24＝－3，a9＝3×9－24＝3，
∴a7＋a9＝0.
答案：c
7．△abc的三內角a，b，c成等差數列，且a－c＝40°，則a
解析：∵a，b，c成等差數列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝180°，∴b＝60°，a＋c＝120°.
又a－c＝40°，∴a＝80°.
答案：80°
8．已知△abc的乙個內角為120°，並且三邊長構成公差為4的等差數列，則△abc的面積為________．
解析：由於三邊長構成公差為4的等差數列，故可設三邊長分別為x－4，x，x＋4.
度數為120°的內角必是最長邊x＋4所對的角．
由餘弦定理，得(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)·cos120°，
∴2x2－20x＝0，∴x＝0(捨去)或x＝10.
∴s△abc＝×(10－4)×10×sin120°＝15.
答案：15
9．在等差數列中，已知a1＝112，a2＝116，這個數列在450到600之間共有多少項？
解：由題意，得d＝a2－a1＝116－112＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.
令450≤an≤600，
解得85.5≤n≤123，又因為n為正整數，故有38項．
10．4個數成等差數列，這4個數的平方和為94，第1個數與第4個數的積比第2個數與第3個數的積少18，求這四個數．
解：設4個數依次為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，據題意得
解得或因此，這四個數依次為8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.
b組能力提公升
11．若乙個等差數列的前4項分別是a，x，b,2x，則等於( )
a. b.
c. d.
解析：∵∴a＝，b＝x，∴＝.故選c.
答案：c
12．在直角座標平面上有一系列點p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，…，pn(xn，yn)，…，對一切正整數n，點pn位於函式y＝3x＋的圖象上，且pn的橫座標構成以－為首項，－1為公差的等差數列，則pn的座標為________．
解析：∵xn＝－＋(n－1)·(－1)＝－n－，
∴yn＝3·xn＋＝－3n－，
∴pn點的座標為.
答案：13．四個數成遞增等差數列，中間兩數的和為2，首末兩項的積為－8，求這四個數．
解：設這四個數為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，依題意，2a＝2，且(a－3d)·(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四個數成遞增等差數列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四個數為－2,0,2,4.
14．是否存在數列同時滿足下列條件：
(1)是等差數列且公差不為0；
(2)數列也是等差數列．
解：設符合條件的數列存在，其首項為a1，公差d≠0，則有an＝a1＋(n－1)d.
又因為也是等差數列，
所以－＝－，
即＝，所以＝，所以a1＋2d＝a1.
所以d＝0，與題設矛盾，所以不存在符合條件的數列.
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