圓的一般方程
三維目標：
知識與技能 ： (1)在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數特徵，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑．掌握方程x2＋y2＋dx＋ey＋f=0表示圓的條件．
2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程．能用待定係數法求圓的方程。
(3):培養學生探索發現及分析解決問題的實際能力。
過程與方法：通過對方程x2＋y2＋dx＋ey＋f=0表示圓的條件的**，培養學生探索發現及分析解決問題的實際能力。
情感態度價值觀：滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創新，勇於探索。
教學重點：圓的一般方程的代數特徵，一般方程與標準方程間的互化，根據已知條件確定方程中的係數，d、e、f．
教學難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用
教具：多**、實物投影儀
教學過程：
課題引入：
問題：求過三點a（0，0），b（1，1），c（4，2）的圓的方程。
利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的侷限性，那麼這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。
探索研究：
請同學們寫出圓的標準方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圓心(a，b)，半徑r．
把圓的標準方程展開，並整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取得 ①
這個方程是圓的方程．
反過來給出乙個形如x2＋y2＋dx＋ey＋f=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？
把x2＋y2＋dx＋ey＋f=0配方得
② (配方過程由學生去完成)這個方程是不是表示圓？
(1)當d2＋e2－4f＞0時，方程②表示（1）當時，表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓；
（2）當時，方程只有實數解，，即只表示乙個點（-，-）;
（3）當時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形
綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓
只有當時，它表示的曲線才是圓，我們把形如的表示圓的方程稱為圓的一般方程
我們來看圓的一般方程的特點：(啟發學生歸納)
(1)①x2和y2的係數相同，不等於0．
②沒有xy這樣的二次項．
(2)圓的一般方程中有三個特定的係數d、e、f，因之只要求出這三個係數，圓的方程就確定了．
(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特徵明顯，圓的標準方程則指出了圓心座標與半徑大小，幾何特徵較明顯。
知識應用與解題研究：
例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。
學生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標準形式。②、運用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對於來說，這裡的
.例2：求過三點a（0，0），b（1，1），c（4，2）的圓的方程，並求這個圓的半徑長和圓心座標。
分析：據已知條件，很難直接寫出圓的標準方程，而圓的一般方程則需確定三個係數，而條件恰給出三點座標，不妨試著先寫出圓的一般方程
解：設所求的圓的方程為：
∵在圓上，所以它們的座標是方程的解.把它們的座標代入上面的方程，可以得到關於的三元一次方程組，
即解此方程組，可得：
∴所求圓的方程為：
；得圓心座標為（4，-3）.
或將左邊配方化為圓的標準方程，,從而求出圓的半徑，圓心座標為(4,-3)
學生討論交流，歸納得出使用待定係數法的一般步驟：
1、 根據提議，選擇標準方程或一般方程；
2、 根據條件列出關於a、b、r或d、e、f的方程組；
3、 解出a、b、r或d、e、f，代入標準方程或一般方程。
例3、已知線段ab的端點b的座標是（4，3），端點a在圓上運動，求線段ab的中點m的軌跡方程。
分析：如圖點a運動引起點m運動，而點a在已知圓上運動，點a的座標滿足方程。建立點m與點a座標之間的關係，就可以建立點m的座標滿足的條件，求出點m的軌跡方程
解：設點m的座標是（x,y）,點a的座標是
上運動，所以點a的座標滿足方程,即
②把①代入②，得
課堂練習：課堂練習第1、2、3題
小結 ：
1．對方程的討論(什麼時候可以表示圓)
2．與標準方程的互化
3．用待定係數法求圓的方程
4．求與圓有關的點的軌跡。
課後作業：習題4.1第2、3、6題
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