3.3.2 簡單線性規劃問題
從容說課
本節課先由師生共同分析日常生活中的實際問題來引出簡單線性規劃問題的一些基本概念，由二元一次不等式組的解集可以表示為直角座標平面上的區域引出問題：在直角座標系內，如何用二元一次不等式（組）的解集來解決直角座標平面上的區域求解問題？再從乙個具體的二元一次不等式（組）入手，來研究一元二次不等式表示的區域及確定的方法，作出其平面區域，並通過直線方程的知識得出最值.
通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設定思考項，讓學生**，層層鋪設，以便讓學生更深刻地理解一元二次不等式表示的區域的概念，有利於二元一次不等式（組）與平面區域的知識的鞏固.
「簡單的線性規劃」是在學生學習了直線方程的基礎上，介紹直線方程的乙個簡單應用，這是《新大綱》對數學知識應用的重視.線性規劃是利用數學為工具，來研究一定的人、財、物、時、空等資源在一定條件下，如何精打細算巧安排，用最少的資源，取得最大的經濟效益.它是數學規劃中理論較完整、方法較成熟、應用較廣泛的乙個分支，並能解決科學研究、工程設計、經營管理等許多方面的實際問題.
中學所學的線性規劃只是規劃論中的極小一部分，但這部分內容體現了數學的工具性、應用性，同時也滲透了化歸、數形結合的數學思想，為學生今後解決實際問題提供了一種重要的解題方法——數學建模法.通過這部分內容的學習，可使學生進一步了解數學在解決實際問題中的應用，培養學生學習數學的興趣和應用數學的意識和解決實際問題的能力.
依據課程標準及教材分析，二元一次不等式表示平面區域以及線性規劃的有關概念比較抽象，按學生現有的知識和認知水平難以透徹理解，再加上學生對代數問題等價轉化為幾何問題以及數學建模方法解決實際問題有乙個學習消化的過程，故本節知識內容定為了解層次.
本節內容滲透了多種數學思想，是向學生進行數學思想方法教學的好教材，也是培養學生觀察、作圖等能力的好教材.
本節內容與實際問題聯絡緊密，有利於培養學生學習數學的興趣和「用數學」的意識以及解決實際問題的能力.
教學重點重點是二元一次不等式（組）表示平面的區域.
教學難點難點是把實際問題轉化為線性規劃問題，並給出解答.解決難點的關鍵是根據實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函式，利用**法求得最優解.為突出重點，本節教學應指導學生緊緊抓住化歸、數形結合的數學思想方法將實際問題數學化、代數問題幾何化.
課時安排 3課時
三維目標
一、知識與技能
1.掌握線性規劃的意義以及約束條件、目標函式、可行解、可行域、最優解等基本概念;
2.運用線性規劃問題的**法，並能應用它解決一些簡單的實際問題.
二、過程與方法
1.培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生「建模」和解決實際問題的能力;
2.結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和「用數學」的意識，激勵學生創新.
三、情感態度與價值觀
1.通過本節教學著重培養學生掌握「數形結合」的數學思想，儘管側重於用「數」研究「形」，但同時也用「形」去研究「數」，培養學生觀察、聯想、猜測、歸納等數學能力;
2.結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和「用數學」的意識，激勵學生勇於創新.
教學過程
第1課時
匯入新課
師前面我們學習了二元一次不等式ax+by+c＞0在平面直角座標系中的平面區域的確定方法，請同學們回憶一下.
（生回答）
推進新課
［合作**］
師在現實生產、生活中，經常會遇到資源利用、人力調配、生產安排等問題.
例如，某工廠用a、b兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品使用4個a產品耗時1小時，每生產一件乙產品使用4個b產品耗時2小時，該廠每天最多可從配件廠獲得16個a配件和12個b配件，按每天工作8小時計算，該廠所有可能的日生產安排是什麼？
設甲、乙兩種產品分別生產x、y件，應如何列式？
生由已知條件可得二元一次不等式組：
師如何將上述不等式組表示成平面上的區域？
生 （板演）
師對照課本98頁圖3.39，圖中陰影部分中的整點（座標為整數的點）就代表所有可能的日生產安排，即當點p（x,y）在上述平面區域中時，所安排的生產任務x、y才有意義.
進一步，若生產一件甲產品獲利2萬元，生產一件乙產品獲利3萬元，採用哪種生產安排利潤最大？
設生產甲產品x件，乙產品y件時，工廠獲得利潤為z，則如何表示它們的關係？
生則z=2x+3y.
師這樣，上述問題就轉化為：當x、y滿足上述不等式組並且為非負整數時，z的最大值是多少？
［教師精講］
師把z=2x+3y變形為,這是斜率為，在y軸上的截距為z的直線.當z變化時可以得到什麼樣的圖形？在上圖中表示出來.
生當z變化時可以得到一組互相平行的直線.（板演）
師由於這些直線的斜率是確定的，因此只要給定乙個點〔例如（1，2）〕，就能確定一條直線，這說明，截距z3可以由平面內的乙個點的座標唯一確定.可以看到直線與表示不等式組的區域的交點座標滿足不等式組，而且當截距最大時，z取最大值，因此，問題轉化為當直線與不等式組確定的區域有公共點時，可以在區域內找乙個點p，使直線經過p時截距最大.
由圖可以看出，當直線經過直線x=4與直線x+2y-8=0的交點m（4，2）時，截距最大，最大值為.此時2x+3y=14.所以，每天生產甲產品4件，乙產品2件時，工廠可獲得最大利潤14萬元.
［知識拓展］
再看下面的問題：分別作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三條直線，先找出不等式組所表示的平面區域（即三直線所圍成的封閉區域）,再作直線l0:2x+y=0.
然後，作一組與直線l0平行的直線：l:2x+y=t,t∈r（或平行移動直線l0），從而觀察t值的變化：t=2x+y∈［3,12］.
若設t=2x+y，式中變數x、y滿足下列條件求t的最大值和最小值.
分析：從變數x、y所滿足的條件來看，變數x、y所滿足的每個不等式都表示乙個平面區域，不等式組則表示這些平面區域的公共區域abc.
作一組與直線l0平行的直線：l:2x+y=t,t∈r（或平行移動直線l0），從而觀察t值的變化：t=2x+y∈［3,12］.
(1)從圖上可看出，點（0，0）不在以上公共區域內，當x=0，y=0時，t=2x+y=0.點（0，0）在直線l0：2x+y=0上.
作一組與直線l0平行的直線（或平行移動直線l0)l:2x+y=t,t∈r.
可知，當l在l0的右上方時，直線l上的點（x,y)滿足2x+y＞0,即t＞0.
而且，直線l往右平移時，t隨之增大（引導學生一起觀察此規律）.
在經過不等式組所表示的公共區域內的點且平行於l的直線中，以經過點b（5，2）的直線l2所對應的t最大，以經過點a（1，1）的直線l1所對應的t最小.所以tmax=2×5+2=12,tmin =2×1+3=3.
(2)(3)
［合作**］
師諸如上述問題中，不等式組是一組對變數x、y的約束條件，由於這組約束條件都是關於x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件.t=2x+y是欲達到最大值或最小值所涉及的變數x、y的解析式，我們把它稱為目標函式.由於t=2x+y又是關於x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標函式.
另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
一般地，求線性目標函式**性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題.例如：我們剛才研究的就是求線性目標函式z=2x+y**性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規劃問題.
那麼，滿足線性約束條件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區域.其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標函式取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優解.
課堂小結
用**法解決簡單的線性規劃問題的基本步驟：
1.首先，要根據線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區域）.
2.設t=0，畫出直線l0.
3.觀察、分析，平移直線l0，從而找到最優解.
4.最後求得目標函式的最大值及最小值.
布置作業
1.某工廠用兩種不同原料均可生產同一產品，若採用甲種原料，每噸成本1 000元，運費500元，可得產品90千克；若採用乙種原料，每噸成本為1500元，運費400元，可得產品100千克，如果每月原料的總成本不超過6 000元，運費不超過2 000元，那麼此工廠每月最多可生產多少千克產品？
分析：將已知資料列成下表：
解：設此工廠每月甲、乙兩種原料各x噸、y噸，生產z千克產品，則
z=90x+100y.
作出以上不等式組所表示的平面區域，即可行域，如右圖：
由得令90x+100y=t，作直線:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行線90x+100y=t，當90x+100y=t過點m（,）時，直線90x+100y=t中的截距最大.
由此得出t的值也最大，zmax =90×+100×=440.
答：工廠每月生產440千克產品.
2.某工廠家具車間造a、b型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張a、b型桌子分別需要1小時和2小時，漆工油漆一張a、b型桌子分別需要3小時和1小時；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時，而工廠造一張a、b型桌子分別獲利潤2千元和3千元，試問工廠每天應生產a、b型桌子各多少張，才能獲得利潤最大？
解：設每天生產a型桌子x張，b型桌子y張，
則目標函式為z=2x+3y.
作出可行域：
把直線l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置時，直線經過可行域上的點m，且與原點距離最大，此時z=2x+3y取得最大值.
解方程得m的座標為（2，3）.
答：每天應生產a型桌子2張，b型桌子3張才能獲得最大利潤.
3.課本106頁習題3.3a組2.
第2課時
匯入新課
師前面我們學習了目標函式、線性目標函式、線性規劃問題、可行解、可行域、最優解等概念.
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