高中數學必修一章知識點總結第一章集合與函式概念
一、集合有關概念
1、集合的含義：某些指定的物件集在一起就成為乙個集合，其中每乙個物件叫元素。
2、集合的中元素的三個特性：
⑴、元素的確定性； ⑵、元素的互異性； ⑶、元素的無序性
說明：①、對於乙個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。
②、任何乙個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的物件，相同的物件歸入乙個集合時，僅算乙個元素。
③、集合中的元素是平等的，沒有先後順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
④、集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示：
⑴、用拉丁字母表示集合：a=,b=
常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集）：n；正整數集：或；
整數集：z；有理數集：q；實數集：r;
⑵、集合的表示方法：列舉法描述法韋恩圖示法區間法
ⅰ、列舉法：把集合中的元素一一枚舉出來，然後用乙個大括號括上。例
ⅱ、描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法。
①、語言描述法：例：、
②、數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是或
ⅲ、韋恩圖示法：用平面上封閉曲線的內部代表集合的方法。
ⅳ、區間法：用來表示諸如定義域、值域、方程或不等式的解集的方法。
4、元素與集合的關係：集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合a的元素，就說a屬於集合a 記作 ，相反，a不屬於集合a 記作 。
5、集合的分類：
⑴、按元素的屬性分類
①、數集元素是數的集合
②、點集元素是點的集合
③、序數對元素是有序實數對的集合
⑵、按集合中元素的個數分類
①、有限集含有有限個元素的集合
②、無限集含有無限個元素的集合
③、空集不含任何元素的集合例：
二、集合間的基本關係
1、「包含」關係—子集
結論：對於兩個集合a、b，如果集合a中的任何乙個元素都是集合b的元素，我們就說集合a是集合b的子集，即。
注意： 有兩種可能（1）a是b的一部分；（2）a與b是同一集合。
反之: 集合a不包含於集合b,或集合b不包含集合a,記作。
2、「相等」關係(5≥5，且5≤5，則5=5)
例：設集合與集合b=的「元素相同」，因此a=b。
結論：對於兩個集合a與b，如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，同時,集合b的任何乙個元素都是集合a的元素，我們就說集合a等於集合b，即：a=b。
3、「真包含」關係—真子集
結論：對於兩個集合a、b，如果集合且我們就說集合a是集合b的真子集，即。
4、性質：
⑴、任何乙個集合是它本身的子集，即。
⑵、如果那麼。
⑶、如果那麼。
⑷、空集是任何集合的子集，即。
⑸、空集是任何非空集合的真子集，即（非空集合）。
⑹、如果集合a有n個元素，則a有個子集，個真子集，個非空真子集。
三、集合的運算
1、交集的定義：一般地，由所有屬於集合a且屬於集合b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集。
記作(讀作」a交b」)，即。
2、並集的定義：一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，叫做a,b的並集。
記作： (讀作」a並b」)，即。
3、交集與並集的性質：
⑴、。⑵、。
⑶、。⑷、。
4、全集與補集
⑴、補集：設s是乙個集合，a是s的乙個子集（即），由s中所有不屬於a的元素組成的集合，叫做s中子集a的補集（或餘集）記作:。
⑵、全集：如果集合s含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作乙個全集，通常用u來表示。
⑶、性質
④、； ⑤；
二、函式的有關概念
1．函式的概念：設是兩個非空的數集，如果按照某個確定的對應關係，使對於集合中的任意乙個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那麼就稱為從集合到集合的乙個函式．記作： 。
其中，叫做自變數，的取值範圍叫做函式的定義域；與的值相對應的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域。
⑴、如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函式的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合。
⑵、函式的定義域、值域要寫成集合或區間的形式。
⑶、集合為非空數集
⑷、集合中元素不可剩餘，集合元素可剩餘。
⑸、任意性——對於集合中任意乙個數來說；
唯一性、確定性——在集合中有唯一確定的數和相對應。
方向性——表示從集合到集合的函式。
2、定義域：能使函式式有意義的實數的集合稱為函式的定義域，求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：
⑴、分式的分母不等於零；
⑵、偶次方根的被開方數不小於零；
⑶、對數式的真數必須大於零；
⑷、指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
⑸、如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的的值組成的集合；
⑹、指數為零底不可以等於零
⑺、實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
(注意：求出不等式組的解集即為函式的定義域。)
3、構成函式的三要素：定義域、對應關係、值域
⑴、構成函式三個要素是定義域、對應關係和值域．由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函式的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函式相等（或為同一函式）
⑵、兩個函式相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變數和函式值的字母無關。相同函式的判斷方法：①表示式相同；②定義域一致 (兩點必須同時具備)
4、值域：函式的函式值構成的集合。
⑴、函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函式的值域都應先考慮其定義域。
⑵、應熟悉掌握一次函式、二次函式、指數、對數函式及各三角函式的值域，它是求解複雜函式值域的基礎。
5、 函式圖象知識歸納：
⑴、定義：在平面直角座標系中，以函式,中的為橫座標，函式值為縱座標的點的集合c，叫做函式,的圖象。
①、c上每一點的座標均滿足函式關係，反過來，以滿足的每一組有序實數對為座標的點，均在c上 。 即記為。
②、圖象c一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與軸的直線最多只有乙個交點的若干條曲線或離散點組成。
⑵、畫法：
①、描點法：根據函式解析式和定義域，求出的一些對應值並列表，以為座標在座標系內描出相應的點，最後用平滑的曲線將這些點連線起來。
②、圖象變換法：由已知函式的影象經過變換得到所求函式影象的方法。
常用變換方法有四種，即平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻摺變換。
⑶、函式圖象的作用：
1、 直觀的看出函式的性質。
2、 利用數形結合的方法分析解題的思路，提高解題的速度，發現解題中的錯誤。
6、區間的概念：一些特殊集合的符號表示。
⑴、區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間。
⑵、無窮區間。
⑶、區間的數軸表示。
7、對映的定義：一般地，設是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則，使對於集合中的任意乙個元素，在集合中都有唯一確定的元素與之對應，那麼就稱對應為從集合到集合的乙個對映。記作。
8、象與原象：給定乙個集合到的對映，如果,且元素和元素對應，那麼，我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。
9、函式與對映的關係：函式是一種特殊的對映，對映是一種特殊的對應。
⑴、集合、及對應法則是確定的。
⑵、對應法則有「方向性」，即強調從集合a到集合b的對應，它與從b到a的對應關係一般是不同的。
⑶、對於對映來說，則應滿足：
①、集合a中的每乙個元素，在集合b中都有象，並且象是唯一的。
②、集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同乙個。
③、不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象。
10、常用的函式表示法及各自的優點：
⑴、解析法：必須註明函式的定義域；
優點：便於算出函式值。
⑵、圖象法：描點法作圖要注意的是：確定函式的定義域、化簡函式的解析式、觀察函式的特徵；
優點：便於量出函式值。
⑶、列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵；
優點：便於查出函式值。
11、分段函式定義：在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。
⑴、在不同的範圍裡求函式值時必須把自變數代入相應的表示式。
⑵、分段函式的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函式值幾種不同的表示式並用乙個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況。
⑶、分段函式是乙個函式，不要把它誤認為是幾個函式。
⑷、分段函式的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集。
12、復合函式的定義：如果函式則函式稱為的復合函式。
例：函式是由函式復合而成。
13、函式單調性
⑴、增函式與減函式的定義：
設函式的定義域為，
①、如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數、，當時，都有，那麼就說函式在區間上是增函式。區間稱為的單調增區間。
②、如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數、，當時，都有，那麼就說函式在區間上是減函式。區間稱為的單調減區間。
注意：ⅰ、函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質。
ⅱ、必須是對於區間內的任意兩個自變數、，當時，總有或。
ⅲ、、不能取特殊值。
⑵、單調函式圖象的特點：如果函式在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的，減函式的圖象從左到右是下降的。
⑶、函式單調區間與單調性的判定方法
ⅰ、 定義法：利用單調函式的定義判斷函式的單調性；
①、任取，且；
②、作差；；
③、變形（通常是因式分解和配方）；
④、定號（即判斷差的正負）；
⑤、下結論（指出函式在給定的區間上的單調性）．
ⅱ、圖象法：從圖象上看公升降；
ⅲ、復合函式的單調性：復合函式的單調性與構成它的函式的單調性密切相關，其規律如下：「同增異減」
注意：函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集。
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