集合一定義集合是高中數學中最原始的不定義的概念，只給出描述性的說明。某些確定的且不同的物件集在一起就成為集合。組成集合的物件叫做元素。
二集合的抽象表示形式
用大寫字母a，b，c……表示集合；用小寫字母a，b，c……表示元素。
三元素與集合的關係
有屬於，不屬於關係兩種。元素a屬於集合a，記作；元素a不屬於集合a，記作。
四幾種集合的命名
有限集：含有有限個元素的集合；
無限集：含有無限個元素的集合；
空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；
自然數集：n；正整數集：n*或n+；整數集：z；
有理數集：q；實數集：r。
五集合的表示方法
(一) 列舉法：把元素一一枚舉在大括號內的表示方法，
例如：。
注意：凡是以列舉法形式出現的集合，往往考察元素的互異性。
(二) 描述法：有以下兩種描述方式
1．代號描述：【例】方程的所有解組成的集合，可表示為。x是集合中元素的代號，豎線也可以寫成冒號或者分號，豎線後面的式子的作用是描述集合中的元素符合的條件。
2．文字描述：將說明元素性質的一句話寫在大括號內。【例】；描述法表示的集合一旦出現，首先需要分析元素的意義，也就說要判斷元素到底是什麼。
(三) 韋恩圖法：用圖形表示集合定義了兩個集合之間的所有關係。
1．子集：如果屬於a的所有元素都屬於b，那麼a就叫做b的子集，記作：，如圖1-1所示圖1-1
子集有兩種極限情況：(1)當a成為空集時，a仍為b的子集；
2)當a和b相等時，a仍為b的子集。
真子集：如果所有屬於a的元素都屬於b，而且ｂ中至少有乙個元素不屬於a，那麼a叫做b的真子集，記作或。
真子集也是子集，和子集的區別之處在於。對於同乙個集合，其真子集的個數比子集少乙個。
(1)求子集或真子集的個數，由n各元素組成的集合，
有2n個子集，有2n -1個真子集；
(2)空集的考查：凡是提到乙個集合是另乙個集合的子集，作為子集的集合首先可以是空集，的等價形式主要有：。
2．交集：由兩個集合的公共元素組成的集合，叫做這兩個集合的交集，記作，讀作a交b，如圖1-2所示。
圖1-2圖1-3圖1-4
3．並集：由兩個集合所有元素組成的集合，叫做這兩個集合的並集，記作，讀作a並b，如圖1-3所示。
4．補集：由所有不屬於ａ的元素組成的集合，叫做ａ在全集ｕ中的補集，記作，讀作a補，如圖1-4所示。
德摩根公式 ：
.(四) 區間表示法：數軸上的一段數組成的集合可以用區間表示，區間分為開區間和閉區間，開區間用小括號表示，是大於或小於的意思；閉區間用中括號表示，是大於等於或小於等於的意思；【例】(2，3)，[2,3]，(2,3]，[2，3]．．．
第二章函式
一對映與函式的基本概念
(一) 對映
a集合中的每個元素按照某種對應法則在b集合中都能找到唯一的元素和它對應，這種對應關係叫做從a集合到b集合的對映。a中的元素叫做原象，b中的相應元素叫做象。
在a到b的對映中，從a中元素到b中元素的對應，可以多對一，不可以一對多。
圖2-1是對映圖2-2是一一對映圖2-3不是對映
(ⅰ)求對映(或一一對映)的個數，m個元素的集合到n個元素的集合的對映的個數是nm。
(ⅱ)判斷是對映或不是對映：可以多對一，不可以一對多。
(二) 函式的概念
定義域到值域的對映叫做函式。如圖2-4。高中階段，函式用f(x)來表示：
即x按照對應法則f對應的函式值為f(x)．函式有解析式和影象兩種具體的表示形式。偶爾也用**表示函式。
函式三要素：定義域a：x取值範圍組成的集合。值域b：y取值範圍組成的集合。對應法則f：y與x的對應關係。有解析式和影象和對映三種表示形式
函式與普通對映的區別在於：
(1)兩個集合必須是數集；
(2)不能有剩餘的象，即每個函式值y
都能找到相應的自變數x與其對應。
圖2-4
二定義域題型
(一) 具體函式：即有明確解析式的函式，定義域的考查有兩種形式
直接考查：主要考解不等式。利用：在中；在中，；在中，；在中，；在中， ；在與中且，列不等式求解。
(二)抽象函式：只要對應法則相同，括號裡整體的取值範圍就完全相同。
三值域題型
(一) 常規函式求值域：畫影象，定區間，截段。
常規函式有：一次函式，二次函式，反比例函式，指數對數函式，三角函式，對號函式。
(二) 非常規函式求值域：想法設法變形成常規函式求值域。
解題步驟：(1)換元變形；
(2)求變形完的常規函式的自變數取值範圍；
(3)畫影象，定區間，截段。
(三) 分式函式求值域 ：四種題型
(1) ：則且。
(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的範圍解不等式求y的範圍。
(3)：
，則且。
(4)求的值域，當時，用判別式法
求值域。，
值域(四) 不可變形的雜函式求值域： 利用函式的單調性畫出函式趨勢影象，定區間，截段。
判斷單調性的方法：選擇填空題首選復合函式法，其次求導數；大題首選求導數，其次用定義。詳情見單調性部分知識講解。
(五) 原函式反函式對應求值域：原函式的定義域等於反函式值域，原函式值域等於反函式定義域。
(六) 已知值域求係數：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式表示的值域與已知值域對照求字母取值或範圍。
四函式運算法則
（一） 指數運算法則
運用指數運算法則，一般從右往左變形。
（二） 對數運算法則
同底公式：①
② ③④ 運用對數運算法則，同底的情況，一般從右往左變形。
不同底公式：①
②③ 運用對數運算法則，不同底的情況，先變成同底。
五函式解析式
(一) 換元法：如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5，求f(3-7x)，
(設2x + 3=3-7t)。
(二) 構造法：如，求f(x)。
(三) 待定係數法：通過影象求出y=asin(ωx +) + c中係數
(四) 遞推：需利用奇偶性、對稱性、週期性的定義式或表示式遞推。
(五) 求原函式的反函式：先反表示，再x、y互換。
六常規函式的影象
常規函式影象主要有
指數函式：逆時針旋轉對數函式：逆時針旋轉，
底數越來越大底數越來越小
冪函式：逆時針旋轉，指數越來越大。其他象限圖象看函式奇偶性確定。
七函式的單調性
(一) 定義：在給定區間範圍內，如果x越大y越大，那麼原函式為增函式；如果x越大y越小，那麼原函式為減函式。
(二) 單調性題型：
1.求單調性區間：先找到最基本函式單元的單調區間，用復合函式法判斷函式在這個區間的單調性，從而確定單調區間。
復合函式法： ：
當0 < x <1時，x↑，x2↑，- x2↓，↓，↑，↓
2.判斷單調性
(1).求導函式：為增函式，為減函式
(2).利用定義：設x1(3).原反函式：具有相同的單調性，乙個函式具有反函式的前提條件是它具有嚴格的單調性。
3.利用函式單調性：
(1).求值域：利用單調性畫出影象趨勢，定區間，截斷。
(2).比較函式值的大小：畫圖看
(3).解不等式：利用以下基本結論列不等式，解不等式。
增函式或
減函式或
(4).求係數：利用常規函式單調性結論，根據單調性求係數。
八函式的奇偶性
(一)定義：如果,則為偶函式；如果,則為奇函式。這兩個式子有意義的前提條件是：定義域關於原點對稱。
(二)奇偶性題型：
1.判斷奇偶性 ：
(1).先看定義域是否關於原點對稱，再比較f(x)與f(-x)正負
(2).看影象對稱性：關於y軸對稱為偶，關於原點對稱為奇
(3).原、反函式：奇函式的反函式是奇函式，偶函式沒有反函式。
2.利用奇偶性：
(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，計算或求解析式
(2).利用復合函式奇偶性結論：
f(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇
f(x)=f(x)+g(x)，當f(x)為奇，g(x)為偶時，代入-x得：
f(-x)=-f(x)+g(x),兩式相加可以消去f(x),兩式相減可以消去g(x),從而解決問題。
3.奇偶函式影象的對稱性
偶函式：關於y軸對稱若，
則f(x)關於對稱
奇函式：關於原點對稱若，
則f(x)關於點(，m) 對稱
九函式的週期性
(一) 定義：
若，則為週期函式，為週期
(二) 週期性考點：
1.求週期：
(1).利用f(x)=f(t + x)列出方程解出t =
(2).把所給函式化為y=asin(ωx +ф) + c標準形式，直接讀出週期
2.利用週期性：利用公式f(x)=f(t + x)
(1).求解析式
(2).求函式值
十函式影象的對稱性
(一) 乙個圖關於點對稱：
(ⅰ)奇函式關於原點對稱
高中數學知識點總結
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